Möbius inversion formula for the trace group

A trace group (monoid) is the quotient of a free group (monoid) by relations of commutation between some pairs of generators. We prove an analog for the trace group of the Möbius inversion formula for the trace monoid (Cartier and Foata, 1969). c © 200? Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Une formule d’inversion de Möbius pour le groupe de traces Résumé. Un groupe (monoı̈de) de traces est le quotient d’un groupe (monoı̈de) libre par des relations de commutation entre certaines paires de générateurs. On montre un analogue pour le groupe de traces de la formule d’inversion de Möbius pour le monoı̈de de trace (Cartier et Foata, 1969). c © 200? Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Un groupe (monoı̈de) de traces est le quotient d’un groupe (monoı̈de) libre par des relations de commutation entre certaines paires de générateurs (lettres). Les monoı̈des de traces sont classiquement utilisés pour modéliser les exécutions dans les systèmes concurrents, voir [5] et les références qui s’y trouvent. Entre autres intérêts, les groupes de traces permettent d’“approximer” les groupes de tresses [16]. Un élément m d’un monoı̈de de traces M est une clique si chaque lettre le composant apparaı̂t au plus une fois, et si toutes ces lettres commutent. On note C l’ensemble des cliques de M . Soit |m| la longueur de m ∈M définie en (3). Soit μM ∈ Z〈M〉 le polynôme défini par μM = ∑ c∈C(−1)c. Dans [3, Théorème 2.4], il est prouvé que μM est l’inverse formel dans Z〈〈M〉〉 de la série caractéristique de M , c’est-à-dire que l’on a l’identité (4). On appelle cette identité la ‘formule d’inversion de Möbius pour le monoı̈de de traces’. Elle est au cœur de l’étude combinatoire du monoı̈de de traces [4, 5]. On obtient dans cette note une ‘formule d’inversion de Möbius pour le groupe de traces’. Soit F un groupe de traces sur l’alphabet Σ∪Σ (a ∈ Σ est l’inverse de a ∈ Σ). SoitM le monoı̈de de traces sur Σ∪Σ dont la présentation de monoı̈de est obtenue à partir de la présentation de monoı̈de de F en supprimant les relations aā = āa = 1, a ∈ Σ. Soit φ l’injection canonique de F dans M . (Plus précisément, φ(t), t ∈ F, est la projection dans M d’un représentant de longueur minimale de t dans (Σ ∪ Σ).) Soit D = T (C) où Note présentée par M. Nivat S0764-4442(00)0????-?/FLA c © 200? Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1 in ria -0 00 99 68 2, v er si on 1 27 J ul 2 00 7 Author manuscript, published in "Comptes Rendus de l Académie des Sciences Series I Mathematics 339, 12 (2003) 899-904" DOI : 10.1016/j.crma.2004.10.017