Multilinear eigenfunction estimates for the Laplace spectral projectors on compact manifolds Estimées multilinéaires pour les projecteurs spectraux du laplacien sur les variétés compactes

The purpose of this note is to extend to any space dimension the bilinear estimate for eigenfunctions of the Laplace operator on a compact manifold (without boundary) obtained in [1] in dimension 2. We also give some related trilinear estimates. Résumé L’objet de cette note est de généraliser à toute dimension d’espace les estimations bilinéaires de projecteurs spectraux de l’opérateur de Laplace sur une variété compacte (sans bord), démontrées dans [1] en dimension 2. On énonce aussi des estimations trilinéaires. Version française abrégée Soit (M, g) une variété riemanienne compacte, C (sans bord) et ∆ le laplacien sur les fonctions de M . Nous avons obtenu précédemment ([1]) des estimées bilinéaires sur les Email addresses: [email protected] (N. Burq), [email protected] (P. Gérard), [email protected] (N. Tzvetkov). URLs: http ://www.math.u-psud.fr/ burq (N. Burq), http ://www.math.u-psud.fr/ tzvetkov, (N. Tzvetkov). Preprint submitted to Elsevier Science 1 février 2008 projecteurs spectraux du laplacien dans le cas où la dimension de M est 2. Le but de cette note est de généraliser ces estimées en toute dimension d’espace : Théorème 0.1 Soit χ ∈ S(R). Pour λ ∈ R on note χλ = χ( √ −∆− λ) le projecteur spectral autour de λ. Il existe C tel que pour tous λ, μ ≥ 1, f, g ∈ L(M), ‖χλf χμg‖L2(M) ≤ CΛ(d,min(λ, μ))‖f‖L2(M)‖g‖L2(M), avec