Multifractal formalism for self-similar measures with weak separation condition

For any self-similar measure μ on R satisfying the weak separation condition, we show that there exists an open ball U0 with μ(U0) > 0 such that the distribution of μ, restricted on U0, is controlled by the products of a family of non-negative matrices, and hence μ|U0 satisfies a kind of quasi-product property. Furthermore, the multifractal formalism for μ|U0 is valid on the whole range of dimension spectrum, regardless of whether there are phase transitions. Moreover the dimension spectra of μ and μ|U0 coincide for q ≥ 0. This result unifies and improves many of the recent works on the multifractal structure of self-similar measures with overlaps. RÉSUMÉ. On montre que pour toute mesure auto-similaire sur R satisfaisant la condition de séparation faible, il existe une boule U0 telle que μ(B0) > 0 ainsi qu’une famille finie F de matrices positives telles que μ|U0 , la distribution de μ restreinte à B0, soit contrôlée par des produits d’éléments de F , de sorte que μ|U0 satisfasse une propriété de type quasi-multiplicativité. De plus, le formalisme multifractal est valide pour μ|U0 sur tout l’intervalle de définition du spectre de singularités, qu’il y ait ou non des transitions de phases. Enfin, les spectres de singularités de μ et μ|U0 cöıncident pour q ≥ 0. Ces résultats unifient et améliorent un grand nombre de travaux récents portant sur la structure multifractale des mesures auto-similaires avec recouvrements. 1991 Mathematics Subject Classification. 28A78, 28A80.