The Lax-Milgram Theorem. A detailed proof to be formalized in Coq

To guarantee the correction of numerical simulation programs implementing the fi-nite element method, it is necessary to formalize the mathematical notions and results that allowto establish the soundness of the method. The Lax-Milgram theorem is one of those theoreticalcornerstones: under some completeness and coercivity assumptions, it states existence and unique-ness of the solution to the weak formulation of boundary value problems. The purpose of thisdocument is to provide the formal proof community with a very detailed pen-and-paper proof ofthe Lax-Milgram theorem.Key-words: Lax-Milgram theorem, finite element method, detailed mathematical proof, formalproof in real analysis This research was partly supported by GT ELFIC from Labex DigiCosme Paris-Saclay. ∗ Équipe Serena. [email protected].† LMAC, UTC, BP 20529, FR-60205 Compiègne, France. [email protected] Le théorème de Lax-Milgram.Une preuve détaillée en vue d’une formalisation en Coq Résumé : Pour garantir la correction de programmes de simulation numérique implémentant laméthode des éléments finis, il est nécessaire de formaliser les notions et résultats mathématiquesqui permettent d’établir la justesse de la méthode. Le théorème de Lax-Milgram est l’un de cesfondements théoriques : sous des hypothèses de complétude et de coercivité, il énonce l’existence etl’unicité de la solution de problèmes aux limites posés sous forme faible. L’objetif de ce documentest de fournir à la communauté preuve formelle une preuve papier très détaillée du théorème deLax-Milgram.Mots-clés : théorème de Lax-Milgram, méthode des éléments finis, preuve mathématiquedétaillée, preuve formelle en analyse réelle A detailed proof of the Lax-Milgram Theorem to be formalized in Coq3