An Elementary Proof of Lebesgue's Differentiation Theorem

The fact that a continuous monotone function is differentiable almost everywhere was established by Lebesgue in 1904. Riesz gave a completely elementary proof of this theorem in 1932 by using his ’Rising Sun Lemma’. Other than Riesz’s, all the proofs of this theorem utilize measure theory. Also a geometric proof which involves measure theory and sets of measure zero was given by D. Austin. The purpose of this work is to give an easier alternative proof of this theorem that can be presented in an elementary analysis course. This proof uses the sets of measure zero and upper and lower derivatives. We will use Heine-Borel Theorem and an elementary covering lemma to show that a nondecreasing function f defined on [a, b] has derivative almost everywhere in this interval. Özet Sürekli ve monoton bir fonksiyonun hemen her yerde türevlenebilir olması durumu 1904’te Lebesgue tarafından tasdik edilmiştir. Reisz 1932’de ’Rising Sun’ önsavını kullanarak bu teoremin basit bir ispatını yapmıştır. Reisz’ınki hariç ispatlarn hepsinde ölçü teorisi kullanılmıştır. Ayrıca D. Austin tarafından da ölçü teorisini ve ölçümü sıfır olan kümeleri içeren geometrik bir ispat verilmiştir. Bu çalışmanın amacı teoremin elementer analiz derslerinde sunulabilecek şekilde daha kolay alternatif bir ispatını vermektir. Bu ispatta ölçümü sıfır olan kümeleri ve alt ve üst türevler kullanılmaktadır. [a, b] de tanımlı azalmayan bir fonksiyon olan f nin bu aralıkta hemen her yerde türevlenebilir olduğunu göstermek için Heine-Borel Teoremin’i ve aynı zamanda basit bir örtü kümesi önsavını kullanacağız.