Fibrations of Low Genus, I. Fibrations En Courbes De Genre Petit, I

In the present paper we consider fibrations f : S → B of an algebraic surface over a curve B, with general fibre a curve of genus g. Our main results are: 1) A structure theorem for such fibrations in the case where g = 2 2) A structure theorem for such fibrations in the case where g = 3, the general fibre is nonhyperelliptic, and each fibre is 2connected 3) A theorem giving a complete description of the moduli space of minimal surfaces of general type with pg = q = 1, K 2 S = 3, showing in particular that it has four unirational connected components 4) Other applications of the two structure theorems. RÉSUMÉ. Dans cet article nous considérons des fibrations f : S → B d’une surface algébrique S sur une courbe B, dont la fibre générale est une courbe de genre g. Nos résultats principaux sont les suivants : 1) Un théorème de structure pour de telles fibrations dans le cas g = 2 2) Un théorème de structure pour de telles fibrations dans le cas ou g = 3, la fibre générale est non hyperelliptique, et chaque fibre est 2-connexe 3) Un théorème donnant une description complète de l’espace de modules des surfaces minimales de type général avec pg = q = 1, K S = 3, en montrant en particulier qu’il comporte quatre composantes connexes qui sont unirationnelles 4) D’ autres applications de ces deux théorèmes de structure. Date: 5 april 2005. The research of the authors was performed through the years in the realm of the DFG SCHWERPUNKT ”Globale Methode in der komplexen Geometrie”, of the EAGER EEC Project, and of the VIGONI-DAAD exchange Program. The second author is a member of G.N.S.A.G.A. of I.N.d.A.M. and gratefully acknowledges the hospitality of the Institute of Mathematics Simion Stoilow of the Rumanian Academy of Sciences, in march 2002. A.M.S. Subject classifications: 14D06, 14J29, 11G30. 1 2 FABRIZIO CATANESE – ROBERTO PIGNATELLI