A polynomiality property for Littlewood-Richardson coefficients

We present a polynomiality property of the Littlewood-Richardson coefficients c λμ . The coefficients are shown to be given by polynomials in λ, μ and ν on the cones of the chamber complex of a vector partition function. We give bounds on the degree of the polynomials depending on the maximum allowed number of parts of the partitions λ, μ and ν. We first express the Littlewood-Richardson coefficients as a vector partition function. We then define a hyperplane arrangement from Steinberg’s formula, over whose regions the Littlewood-Richardson coefficients are given by polynomials, and relate this arrangement to the chamber complex of the partition function. As an easy consequence, we get a new proof of the fact that c Nλ Nμ is given by a polynomial in N , which partially establishes the conjecture of King, Tollu and Toumazet [KTT03] that c Nλ Nμ is a polynomial in N with nonnegative rational coefficients. Résumé. Nous présentons une propriété de polynomialité des coefficients de Littlewood-Richardson c λμ . Nous démontrons que ces coefficients sont donnés par des fonctions polynomiales en λ, μ et ν dans les cônes du complexe d’une fonction de partition vectorielle. Nous donnons des bornes sur les degrés de ces polynômes en termes du nombre de parts des partitions λ, μ and ν. Nous exprimons premièrement les coefficients de Littlewood-Richardson en termes d’une fonction de partition vectorielle. Nous définissons ensuite un arrangement d’hyperplans à partir de la formule de Steinberg, sur les régions duquel les coefficients de Littlewood-Richardson sont donnés par des polynômes, puis faisons le lien entre cet arrangement et le complexe de cônes de la fonction de partition vectorielle. Comme conséquence simple, nous obtenons une preuve élémentaire du fait que c Nλ Nμ est donné par un polynôme en N , ce qui établit partiellement une conjecture de King, Tollu et Toumazet [KTT03], voulant que c Nλ Nμ soit un polynôme en N avec des coefficients rationnels nonnégatifs.