Asymptotic Optimality of Approximate Filters in Stochastic Systems with Colored Noises

In this report, a new interpretation of the main part of our study on asymptotic behaviour of reduced-order lters in 6] is given. Approximate lters are proposed for semi-linear and nonlinear stochastic systems with colored noises. Basically these lters are deened as those which are optimal when the noises are white. Their long time behavior is investigated and their asymp-totic optimality is shown in two cases under some reasonable assumptions. At rst the case of a system where the signal and observation dynamics are linear with respect to the state is considered; the approximate lter is a Kalman l-ter and the asymptotic analysis relies on a representation of the optimal lter which extends a formula known for a linear system with white noises and non-Gaussian initial condition. Then the case of a nonlinear system with limiting ergodic behavior is analyzed; here the approximate lter appears as the optimal lter corresponding to an incorrect prior distribution and the asymptotic study uses the results of Ocone and Pardoux on the asymptotic stability of optimal lters with respect to their initial condition. Filtres approchhs asympotiquement optimaux pour des systtmes avec bruit colorrs RRsumm : Dans ce rapport nous donnons une nouvelle interprrtation de la majeure partie de notre tude sur le comportement asymptotique de ltres d'ordre rrduit prrsentte dans 6]. Nous proposons des ltres approchhs pour des systtmes stochastiques semi-linnaires et non linnaires avec des bruits co-lorrs. Ces ltres sont dddnis comme tant identiques aux ltres optimaux lorsque les bruits sont blancs. Nous tudions leur comportement en temps long et nous montrons leur eecacitt asymptotique dans deux situations sous des hypothhses raisonables. Premiirement, nous considdrons le cas d'un sys-ttme oo la dynamique du signal et celle de l'observation sont linnaires; le ltre approchh est un ltre de Kalman et dans l''tude asymptotique nous donnons une reprrsentation du ltre optimal. Ceci tend une formule connue pour des systtmes avec bruits blancs et condition initiale non gaussienne. Puis nous considdrons le cas d'un systtme non linnaire sous des hypothhses d'ergodicitt. Dans cette situation le ltre approchh correspond au ltre optimal du systtme initialiss avec une distribution erronne. Pour l''tude asymptotique nous uti-lisons les rrsultats d'Ocone et Pardoux sur la stabilitt asymptotique du ltre optimal par rapport la condition initiale.