Modified Proof of a Local Analogue of the Grothendieck Conjecture

A local analogue of the Grothendieck Conjecture is an equivalence of the category of complete discrete valuation fields K with finite residue fields of characteristic p 6= 0 and the category of absolute Galois groups of fields K together with their ramification filtrations. The case of characteristic 0 fields K was considered by Mochizuki several years ago. Then the author proved it by different method if p > 2 (but char K = 0 or p). This paper represents a modified approach: it covers the case p = 2, contains considerable technical simplifications and replaces the Galois group of K by its maximal pro-p-quotient. Special attention is paid to the procedure of recovering field isomorphisms coming from isomorphisms of Galois groups, which are compatible with corresponding ramification filtrations. Résumé. Un analogue local de la conjecture de Grothendieck est une équivalence entre la catégorie des corps K complets pour une valuation discrète à corps résiduels finis de caractéristique p 6= 0, et la catégorie des groupes galoisiens absolus de corps K munis de la filtration de ramification. Le cas des corps de caractéristique 0 a été considéré par Mochizuki il y a quelques années. Par la suite, le présent auteur a demontré l’équivalence par une méthode différente si p > 2 (mais char K = 0 or p). Dans l’article présenté ici, une modification de l’approche précédente est envisagée: elle couvre le cas p = 2, contient des simplifications considérables et remplace le group galoisien absolu de K par son pro-p-quotient maximal. Une attention particulière est accordeé au procédé de reconstruction d’isomorphisme de corps obtenu a partir d’isomorphisme de groupes du Galois qui sont compatibles avec les filtrations de ramification correspondantes.