Homogenization of Some Nonlinear Problems with Speciic Dependence upon Coordinates

Sunto: Questo articolo considera una successione di equazioni diieren-ziali a derivate parziali non lineari in forma di divergenza del tipo ?div (Q " G(x; N " ru)) = f " ; in un dominio limitato dello spazio n-dimensionale; Q " = Q " (x) e N " = N " (x) sono matrici con coeecenti limitati, N " e' invertibile e la sua matrice inversa R " ha anche coeecenti limitati. La non linearita' e' dovuta alla funzione G = G(x;); la condizione di crescita, la monotonicita' e le ipotesi di coercitivita' sono modellate sul p-Laplaciano, 1 < p < 1, ed assicurano l'esistenza di una soluzione u " 2 W 1;p 0 (() di ciascuna equazione, per ogni ssata f " 2 W ?1;p 0 ((). Si ipotizza una dipendenza speciica della matrice dei coeecenti dalle coordinate: Q " (x) = ? q " i;j (x 0 i) e R " (x) = ? r " i;j (x i) , dove il punto arbitrario di e' denominato x = (x i ; x 0 i), con x i reale e x 0 i nello spazio (n?1)-dimensionale. Essenzialmente il risultato principale e' il seguente. Supponiamo la seguente convergenza: per i coeecenti, Q " * Q, R " * R, rispetto alla topologia debole* ; per i termini di sorgente, f " ! f, rispetto alla topologia forte di W ?1;p 0 0 ((); e per le soluzioni u " * u, rispetto alla topologia debole di W 1;p 0 ((); allora u e' soluzione dell'equazione limite ?div (Q G(x; Nru)) = f: Si dimostra anche un risultato di tipo correttore e vengono date applicazioni del risultato ottenuto.