Consistency of Semiparametric Maximum Likelihood Estimators for Two-Phase Sampling

Semiparametric maximum likelihood estimators have recently been proposed for a class of two-phase, outcome-dependent sampling models. All of them were "restricted" maximum likelihood estimators, in the sense that the maximization is carried out only over distributions concentrated on the observed values of the covariate vectors. In this paper, the authors give conditions for consistency of these restricted maximum likelihood estimators. They also consider the corresponding unrestricted maximization problems, in which the "absolute" maximum likelihood estimators may then have support on additional points in the covariate space. Their main consistency result also covers these unrestricted maximum likelihood estimators, when they exist for all sample sizes. Convergence des estimateurs du maximum de vraisemblance semiparametrique dans le cadre d'echantillonnage a deux phases Risumi :Des estimateurs du maximum de vraisemblance serniparametrique ont dcernment kt15 proposCs dans le cadre de modhles pour plans d'6chantillonnage doubles A probabilitI5s de selection dependant de covariables. 11 s'agissait dans tous les cas d'estimateurs h vraisemblance maximale restreinte, en ce sens que la maximisation n'6tait effectuee que sur les lois ayant pour support l'ensemble des valeurs observkes des vecteurs de covariables. Dans cet article, les auteurs donnent des conditions assurant la convergence de ces estimateurs A vraisemblance maximale restreinte. Ils considerenten outre les problhmes de maximisation non-restreinte, dans lesquels les estimateurs h vraisemblance maximale "absolus" peuvent dependre de points additionnels de l'espace des covariables. Leur principal &sultat de convergence s'applique A ces estimateurs A vraisemblance maximale non-restreinte, lorsque ceux-ci existent pour toute taille d'kchantillon.