A generalization of (q,t)-Catalan and nabla operators

We introduce non-commutative analogs of k-Schur functions and prove that their images by the noncommutative nabla operator H is ribbon Schur positive, up to a global sign. Inspired by these results, we define new filtrations of the usual (q, t)-Catalan polynomials by computing the image of certain commutative k-Schur functions by the commutative nabla operator∇. In some particular cases, we give a combinatorial interpretation of these polynomials in terms of nested quantum Dick paths. Résumé. Nous introduisons des analogues non commutatifs des k-fonctions de Schur et nous prouvons que leurs images par l’opérateur nabla non commutatif H est Schur-rubans positif, à un signe global près. Guidés par ses résultats, nous définissons de nouvelles filtrations des (q, t)-nombres de Catalan usuels en calculant l’image de certaines k-fonctions de Schur par l’opérateur nabla commutatif ∇. Dans certains cas particuliers, nous donnons une interprétation combinatoire de ces polynômes en termes de chemins de Dyck imbriqués.