Liénard systems and potential-Hamiltonian decomposition I – methodology

Following the Hodge decomposition of regular vector fields we can decompose the second member of any Liénard system into 2 (non-unique) polynomials, the first corresponding to potential and the second to Hamiltonian dynamics. This polynomial Hodge decomposition is called potential-Hamiltonian, denoted PH-decomposition, and we give it for any polynomial differential system of dimension 2. We will give in a future Note an algorithm expliciting the PH-decomposition in the neighborhood of particular orbits, like a limit-cycle for Liénard systems, the method being applicable for any polynomial differential system of dimension 2. To cite this article: J. Demongeot et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007). © 2006 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Systèmes de Liénard et décomposition potentielle-hamiltonienne I – méthodologie. Un système de Liénard est un système différentiel du second ordre, du type : dx/dt = y,dy/dt = −g(x) + yf (x), où g et f sont des polynômes. Un tel système est susceptible d’être décomposé, de manière non unique, en 2 parties polynomiales, l’une potentielle et l’autre hamiltonienne, c’està-dire qu’il existe 2 polynômes P et H vérifiant : dx/dt = −∂P/∂x + ∂H/∂y,dy/dt = −∂P/∂y − ∂H/∂x. On montre, en utilisant la décomposition de Hodge des champs de vecteurs réguliers, que le second membre d’un tel système est décomposable en 2 polynômes, l’un correspondant à une dynamique de gradient et l’autre à une dynamique hamiltonienne. Cette décomposition de Hodge polynomiale est appelée potentielle-hamiltonienne, notée PH-décomposition, et nous en donnons la formule pour tout système différentiel polynomial du plan. Nous donnerons, dans une Note ultérieure, un algorithme permettant d’obtenir une formule explicite de la PH-décomposition au voisinage d’orbites particulières, telles qu’un cycle-limite dans le cas des systèmes de Liénard, la méthode étant applicable à tout système différentiel polynomial du plan. Pour citer cet article : J. Demongeot et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007). © 2006 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée Les systèmes de Liénard sont des Equations Différentielles Ordinaires de Dimension 2 (2D-EDO) du type : dx/dt = y, dy/dt =−g(x)+ yf (x), où f et g sont des polynômes. E-mail addresses: [email protected] (J. Demongeot), [email protected] (N. Glade), [email protected] (L. Forest). 1631-073X/$ – see front matter © 2006 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2006.10.016 122 J. Demongeot et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007) 121–126 Le système de van der Pol (cf. Fig. 1) en est un bon exemple [2–4], utilisé pour modéliser de nombreux systèmes biologiques régulés, dont le système cardiaque. Les polynômes g et f d’un système de van der Pol sont définis par : g(x)= x et f (x)= μ(1 − x2). L’unique cycle-limite d’un système de van der Pol, lorsqu’il existe, est une courbe non algébrique difficile à approximer et il peut être très utile, dans les applications, d’en avoir une estimation polynomiale. Nous proposons donc, de manière générale, une décomposition des EDO régulières, dite potentielle-hamiltonienne, dont l’existence est fondée théoriquement sur la décomposition de Hodge [5–8]. Une ODE est dite potentiel-hamiltonienne décomposable, s’il existe un couple de polynômes (P,H), tel que : dx/dt =−∂P/∂x + ∂H/∂y, dy/dt =−∂P/∂y − ∂H/∂x. La partie du flot de vecteurs vitesse définie par P correspond à une dynamique de descente de plus fort gradient sur la surface représentative de P et la partie définie par H correspond à une dynamique sur les courbes de niveau de la surface représentative de H . Un exemple de système hamiltonien pur classique est celui du système de Lotka–Volterra, utilisé pour modéliser les interactions proie/prédateur [9]. Des exemples de systèmes différentiels purs potentiels sont les systèmes de type n-switch, à second membre défini par une cinétique de Hill compétitive (équation (4)), pour lesquels on peut obtenir explicitement la formule de définition de P et donc tracer la surface correspondante et en localiser les minima, qui sont les états stationnaires du n-switch (cf. Fig. 3). Un exemple de système polynomial mixte potentiel-hamiltonien est le système chimique de Lotka, pour lequel il est facile d’exhiber P et H [22]. Pour généraliser la décomposition ci-dessus, on montre un théorème donnant une formule générale de décomposition potentielle-hamiltonienne (non unique), pour des ODE du type : dx/dt = f (x, y), dy/dt = g(x, y), où f et g sont des polynômes. A partir de cette formule générale, nous donnerons, dans deux prochaines notes, un algorithme permettant d’obtenir la décomposition potentielle-hamiltonienne dans le cas des systèmes de Liénard, puis de l’appliquer à des problèmes biologiques, dans lesquels il existe un grand intérêt à décomposer le flot en une partie potentielle (dont les paramètres sont responsables d’une modulation de fréquence d’un signal biologique, dans le cas d’une trajectoire du système de type cycle-limite) et une partie hamiltonienne (dont les paramètres sont responsables d’une modulation d’amplitude).