Optimal consistency errors for general shell elements

We obtain estimates for the consistency errors arising in general shell element procedures, which are widely used in engineering practice. These estimates improve a previous result by the same authors. Moreover, numerical experiments indicate that these new estimates are optimal. Further, we introduce a modified procedure for which nominal convergence is recovered. These results are of much practical significance.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Estimations optimales de consistance pour les éléments de coques généraux Abstract. Nous obtenons des estimations pour les erreurs de consistance présentes dans les éléments de coques généraux, qui sont très utilisés en pratique. Ces estimations améliorent un résultat précédent des mêmes auteurs. De plus, des tests numériques indiquent que ces nouvelles estimations sont optimales. Par ailleurs nous proposons une formulation modifiée qui permet de retrouver une convergence nominale. Ces résultats ont une portée pratique évidente.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Nous obtenons des estimations pour les erreurs de consistance présentes dans les éléments de coques généraux, qui sont très utilisés en pratique. Ces estimations améliorent un résultat précédent des mêmes auteurs. De plus, des tests numériques indiquent que ces nouvelles estimations sont optimales. Par ailleurs nous proposons une formulation modifiée qui permet de retrouver une convergence nominale. Ces résultats ont une portée pratique évidente.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Les modèles de coques de type Reissner–Mindlin (comme le modèle de Naghdi, voir [6,5,2]) comportent deux champs inconnus : le déplacement de la surface moyenne de la coque (notée S), et la rotation des fibres matérielles normales à S dans la configuration non déformée. Ces deux champs sont donnés sur S, elle-même décrite par une carte φ supposée régulière. La rotation sous forme linéarisée est représentée par un vecteur partout tangent à S, c’est-à-dire orthogonal au vecteur normal unitaire a3. Cependant, en pratique les éléments finis de coques sont souvent formulés d’une toute autre manière. En particulier, dans les techniques appelées « general shell elements » on considère la structure comme un objet 3D dont la géométrie est approchée à l’aide d’un maillage défini par des nœuds situés sur la surface moyenne et en utilisant la carte approchée donnée par (1), où I représente l’opérateur d’interpolation 2D associé aux fonctions de formes des éléments finis employés, et t désigne l’épaisseur de la coque supposée constante dans cette Note. La démarche isoparamétrique classique conduit alors à considérer les Note présentée par Philippe G. CIARLET. S0764-4442(01)01940-1/FLA  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 771 D. Chapelle, K.J. Bathe déplacements 3D donnés par (2) et (3), où BC est la notation générique qui représente les conditions aux limites essentielles (homogènes). En utilisant ces déplacements 3D discrets dans la formulation variationnelle de l’élasticité 3D linéarisée avec l’hypothèse supplémentaire (4), on peut alors montrer que la solution discrète est une approximation convergente de la solution d’un modèle de coque de type Reissner– Mindlin [3]. Cependant, dans la définition de Vh on peut voir que le deuxième champ ne correspond pas « exactement » à un vecteur rotation car il n’est pas orthogonal à a3. En fait, ceci crée une erreur de consistance qui est l’objet d’étude principal de cette Note. On réalise l’analyse sur un problème-modèle qui contient la même source d’erreur de consistance sans difficulté technique superflue. On considère ainsi le problème consistant à chercher θ dans R (défini par (8)) et qui satisfait (5), avec (6) et (7). Ce problème est manifestement bien posé, et on peut en étudier l’approximation consistant à chercher θh dans Rh qui satisfait (9) avec (10). On remarque que Rh n’est pas un sous-espace de R, et on définit alors R̃h par (11) où π est l’opérateur de projection sur le plan tangent. Ceci fournit maintenant un sous-espace de R, et on étudie la formulation discrète alternative qui consiste à chercher τh dans R̃h satisfaisant (12) avec (13). Les deux formulations discrètes sont clairement équivalentes à travers les relations (14), et on s’intéresse donc à l’analyse de l’approximation fournie par la seconde, avec les erreurs de consistance provoquées par l’utilisation de ah et fh au lieu de a et f . Dans cette analyse on supposera que les erreurs d’interpolation sont en O(h) pour la norme H et en O ( h ) pour la norme L. On obtient alors le : THÉORÈME 1. – For tout ηs suffisamment régulier dans R, on a (17) et (18). Ces estimations de consistance sont d’ordre O(h) au mieux, ce qui améliore un résultat précédemment obtenu par les auteurs [3], mais indique néanmoins un comportement sous-optimal pour des éléments finis de degré supérieur à 2. Pour éviter cette erreur de consistance, il faudrait pouvoir projeter le vecteur de rotation interpolé dans (2), mais la géométrie n’est pas exactement connue et donc on ne dispose pas au plan pratique de l’opérateur de projection. En revanche, on peut parfaitement utiliser l’interpolé des vecteurs normaux pour construire un projecteur approché, ce qui conduit à considérer (19) au lieu de (12). En utilisant le fait que η = π ( I( η) ) pour tout η ∈ R̃h, on peut alors facilement établir une estimation de consistance en O(h). Afin de déterminer si les estimations de consistance (17) et (18) sont optimales, nous avons réalisé des expériences numériques sur des éléments finis cubiques (et sur une version 1D du problème-modèle). On a considéré pour cela un quart du cercle unité, avec un second membre choisi de telle sorte que la solution exacte soit égale à sin(4ξ) fois le vecteur tangent unitaire pour ξ ∈ [ 0, π2 ] . Les courbes de convergence sont données dans la figure 1 pour le schéma d’origine (12) et le schéma modifié (19). Ces résultats montrent clairement une erreur en O(h) en norme H pour le schéma d’origine, ce qui indique que les estimations de consistance ci-dessus sont optimales. De plus, la convergence du schéma modifié apparaît manifestement comme nominale.