Ein in der reinen Zahlentheorie unbeweisbarer Satz über endliche Folgen von natürlichen Zahlen

In [9] wurden mehrere Beweise ffir die Unbeweisbarkeit von kombinatorischen S/itzen in gewissen formalen Systemen ausgeftihrt. Hierbei handelt es sich u.a. um einen in Erweiterung des Kruskalschen Satzes yon Friedman [5] bewiesenen Satz fiber markierte endliche B/iume, der in einem formalen System//~ CAo mit/-/lKomprehension nicht beweisbar ist. Sowohl der ursprfingliche Beweis yon Friedman als auch der in [9] durchgeffihrte Beweis fiir die Unbeweisbarkeit dieses Satzes beruht auf einer Einbettung yon Ordinalzahlen eines von Buchholz ['1] oder [2] entwickelten Bezeichnungssystems in die betreffenden B/iume. Entsprechend 1/igt sich ffir den Spezialfall dieses Satzes, der anstatt yon endlichen B/lumen nur von endlichen Folgen natfirlicher Zahlen handelt, eine Unbeweisbarkeit mit Hilfe eines eingeschr/inkten Ordinalzahlensystems nachweisen. Wir schr/inken das Bezeichnungssystem von Buchholz [2], dem gewisse Kollabierungsfunktionen tp~ zugrunde liegen, in der Weise ein, dab wir die Addition und die Bildung von co" als Grundoperationen fortlassen und das System nut mit einstelligen Funktionen zr~ aufbauen, die analog zu den Funktionen ~p~ definiert werden. In dieser Weise ergibt sich ein Ordinalzahlensystem zr(co), das in Abschnitt 1 eingeffihrt wird und yon dem in Abschnitt 2 gezeigt wird, dab es den Abschnitt aller Ordinalzahlen < ~0 enth/ilt. Hiermit wird in den Abschnitten 3 und 4 entsprechend wie in ['9] bewiesen, da6 der Spezialfall des Satzes yon Friedman und eine endliche Miniaturisierung dieses Satzes in der reinen Zahlentheorie nicht beweisbar sind. Diese S/itze haben die Gestalt VnW(f, n) und VnA(n), wobei f eine freie Funktionsvariable oder eine freie Pr/idikatenvariable ist und in A(n) eine solche Variable nicht auftritt. Wir zeigen schlieglich in Abschnitt 5, dab W(f, n) und A(n) ffir jede einzelne nat/irliche Zahl n in der reinen Zahlentheorie beweisbar sind, so dab die Unbeweisbarkeit der Alls/itze nur auf der co-Unvollst/indigkeit der reinen Zahlentheorie beruht.