(a Dht1.Cahiers.Rev)

T h e b a s i c s t r u c t u r e w e s h a l l u s e f o r s u c h a t h e o r y , a d s p a c e , i s a t o p o l o g i c a l s p a c e e q u i p p e d w i t h a f a m i l y o f d i r e c t e d p a t h s , c l o s e d u n d e r s o m e o p e r a t i o n s . T h i s a l l o w s f o r d i r e c t e d h o m o t o p i e s , g e n e r a l l y n o n r e v e r s i b l e , r e p r e s e n t e d b y a c y l i n d e r a n d c o c y l i n d e r f u n c t o r s . T h e e x i s t e n c e o f ' p a s t i n g s ' ( c o l i m i t s ) y i e l d s a g e o m e t r i c r e a l i s a t i o n o f c u b i c a l s e t s a s d s p a c e s , t o g e t h e r w i t h h o m o t o p y c o n s t r u c t s w h i c h w i l l b e d e v e l o p e d i n a s e q u e l . H e r e , t h e f u n d a m e n t a l c a t e g o r y o f a d s p a c e i s i n t r o d u c e d a n d a ' S e i f e r t v a n K a m p e n ' t h e o r e m p r o v e d ; i t s h o m o t o p y i n v a r i a n c e r e s t s o n ' d i r e c t e d h o m o t o p y ' o f c a t e g o r i e s . I n t h e p r o c e s s , n e w s h a p e s a p p e a r , f o r d s p a c e s b u t a l s o f o r s m a l l c a t e g o r i e s , t h e i r e l e m e n t a r y a l g e b r a i c m o d e l . A p p l i c a t i o n s o f s u c h t o o l s a r e b r i e f l y c o n s i d e r e d o r s u g g e s t e d , f o r o b j e c t s w h i c h m o d e l a d i r e c t e d i m a g e , o r a p o r t i o n o f s p a c e t i m e , o r a c o n c u r r e n t p r o c e s s . M S C : 5 5 P x x , 1 8 G 5 5 , 5 4 E 5 5 , 5 4 F 0 5 , 5 4 E 1 5 , 6 8 U 1 0 , 6 8 Q 8 5 . K e y w o r d s : h o m o t o p y t h e o r y , h o m o t o p i c a l a l g e b r a , b i t o p o l o g i c a l s p a c e , l o c a l l y o r d e r e d t o p o l o g i c a l s p a c e , q u a s i p s e u d o m e t r i c , i m a g e p r o c e s s i n g , c o n c u r r e n t p r o c e s s e s .