An Output-Sensitive Convex Hull Algorithm for Planar Objects

A set of planar objects is said to be of type m if the convex hull of any two objects has its size bounded by 2m. In this paper, we present an algorithm based on the marriage-before-conquest paradigm to compute the convex hull of a set of n planar convex objects of xed type m. The algorithm is output-sensitive, i.e. its time complexity depends on the size h of the computed convex hull. The main ingredient of this algorithm is a linear method to nd a bridge, i.e. a facet of the convex hull intersected by a given line. We obtain an O(nn(h; m) log h)-time convex hull algorithm for planar objects. Here (h; 2) = O(1) and (h; m) is an extremely slowly growing function. As a direct consequence, we can compute in optimal (n log h) time the convex hull of disks, convex homothets, non-overlapping objects. The method described in this paper also applies to compute lower envelopes of functions. In particular, we obtain an optimal (n log h)-time algorithm to compute the upper envelope of line segments. Un algorithme adaptatif pour le calcul de l'enveloppe convexe d'objets planaires RRsumm : Un ensemble d'objets planaires est de type m si la taille de l'enveloppe convexe de deux objets est bornne par 2m. Dans ce rapport, nous prrsentons un algorithme bass sur le paradigme mariage-avant-conquute pour calculer l'enveloppe convexe d'un ensemble de n objets planaires de type m (m xx). L'algorithme est adaptatif, c'est-dire que son temps de calcul ddpend la fois de la taille des en-trres mais aussi de la taille de l'enveloppe convexe. Le principal ingrrdient de cet algorithme est une mmthode linnaire pour calculer un pont, c'est-dire une facette de l'enveloppe convexe coupant une droite donnne. Nous obtenons un algorithme dont la complexitt est O(nn(h; m) log h). Ici (h; 2) = O(1) et (h; m) est une fonction qui croit extrrmement lentement. Il en ddcoule que nous pouvons calcu-ler en temps optimal (n log h) l'enveloppe convexe de disques, d'objets convexes homothhtiques, d'objets non-recouvrants. La mmthode ddcrite dans ce papier peut s'appliquer galement au calcul de l'enveloppe suprieure de fonctions. En particu-lier, nous obtenons un algorithme optimal en (n log h) pour calculer l'enveloppe suprieure de segments.