Fractional elliptic equations in nondivergence form: definition, applications and Harnack inequality

We define the fractional powers Ls=(−aij(x)∂ij)s, 0<s<1, of nondivergence form elliptic operators L=−aij(x)∂ij in bounded domains Ω⊂Rn, under minimal regularity assumptions on coefficients aij(x) and boundary ∂Ω. show that these appear several applications such as Monge–Ampère equations, elasticity, finance. The solution u to nonlocal Poisson problem{(−aij(x)∂ij)su=finΩu=0on∂Ω is characterized by a local degenerate/singular extension problem. develop method sliding paraboloids geometry prove interior Harnack inequality Hölder estimates for solutions problem when are bounded, measurable functions. This turn implies On définit les puissances fractionnaires des opérateurs elliptiques sous forme non-divergence dans domaines bornés hypothèses de régularité minimale sur et à la frontière Nous montrons que ces apparaissent plusieurs telles équations Monge–Ampère, élasticité La au problème non local{(−aij(x)∂ij)su=fdansΩu=0au∂Ω se caractérise par un d'extension dégénéré/singulier. développons méthode paraboloïdes glissants géométrie prouver l'inégalité intérieure estimations pour le lorsque sont fonctions mesurables bornées. Cela implique son tour fractionnaire.