در این پایان نامه مفهوم توسیع های هاپف-گالوایی را که می تواند به دید کلاف اساسی اساسی نیز در نطر گرفته شود، به مفهوم توسیع هم-جبری گالوایی تعمیم داده می شود. همچنین دوگان این مفهوم تحت عنوان هم-توسیع های جبری نیز تعریف می شود. نشان داده می شود برای هر توسیع هم-جبری گالوایی و هم چنین هر هم-توسیع جبری یک نگاشت به هم پیچنده ی یکتا وجود دارد. همچنین مفهوم کلاف اساسی هم-جبری نیز به عنوان تعمیم مفهوم کلاف اساسی ذره گروهی تعریف می شود. دوگان این مفهوم نیز تحت عنوان کلاف اساسی دوگان تعریف می شود. با استفاده از نگاشت به هم پیچنده برای توسیع های هم-جبری گالوایی و هم-توسیع های جبری گالوایی، کلاف های اساسی هم-جبری و کلاف اساسی دوگان به ترتیب با توسیع های هم-جبری گالوایی و هم-توسیع های جبری مرتبط می شوند.