در این پایان نامه شرایط کافی برای وجود و یا یکتایی جواب میانی شبه تقریباً دوره ای وزن دار برای رده ای از معادلات دیفرانسیل کسری نیم خطی به فرم d_( t)^? u(t)=au(t)+d_( t)^(?-1) f(t,u(t) ),t?r بیان شده که در آن 1??<2 ، d_( t)^? عملگر مشتق کسری است که در حالت ریمان- لیوویل در نظر گرفته می شود، a?d(a)?x?x یک عملگر خطی بسته به طور چگال تعریف شده از نوع بخشی است، x یک فضای باناخ مختلط است و f? r×x?x یک تابع شبه تقریباً دوره ای وزن دار دارای شرایط مناسب است.هم چنین وجود جواب برای رده ای از معادلات بسط جزیی مجرد به فرم d/dt (u(t),f(t,bu(t) ) )=au(t)+g(t,cu(t) ),t?r مورد بررسی قرار می گیرد.

در فصل اول این پایان نامه، مفاهیم و تعاریف اولیه مورد نیاز را بیان نموده ایم. در فصل دوم ساختاری از مجموعه بحرانی و قضایای سه نقطه بحرانی ارائه شد که در فصل های بعدی کاربرد های آن را برای وجود جواب برای مسائل مقدار مرزی بررسی کردیم فصل سوم شامل دو بخش است، بخش اول وجود سه جواب ضعیف برای مسئله مقدار مرزی دیریکله شامل pلاپلاسین ?pu + f(x; u) = a(x)jujp??2u in ?; u = 0 on @?: بررسی میشودو دربخش بعدی وجود سه جواب برای معادله فوق در حالتی کهa(x)jujp??2u = 0 بررسی میگردد فصل چهارم نیز از دو بخش تشکیل شده است ابتدا وجود سه جواب ضعیف را برای مسئله مقدار مرزی نوع کیرشهف بررسی می کنیم و در بخش بعدی جوابهای چند گانه را برای رده ای از سیستم های بیضوی شبه خطی زیر : ???pu + a(x)jujp??2u = fu(x; u; v) in ?; ???qv + b(x)jvjq??2v = fv(x; u; v) in ?; u = v = 0 on @?: بیان و بررسی میشود.

در این پایان نامه ابتدا مطالب اولیه را معرفی می کنیم؛ سپس به بحث اصلی که در مورد شرایط کافی برای وجود و یکتایی جواب معادله ی دیفرانسیل کسری (d^? y(t)=f(t,y(t),d^? y(t) (1<??2 0<??1 , ) با شرایط اولیه ی y(0)=0 و y(0)=1 یا با شرایط مرزی y(0)=y_° و y(1)=y_1 می باشد می پردازیم و همچنین حل این نوع معادلات با روش موجک لژاندر را بیان می کنیم . برای ارائه ی حل عددی این دسته از معادلات لازم است که یک عملگر ماتریس از انتگرال مرتبه کسری را معرفی نماییم . این عمل موجب می شود که معادله به یک سیستم معادله ی جبری تبدیل شود. همچنین مثال هایی گویا برای نشان دادن کاربرد و سادگی روش موجک لژاندر ارائه می دهیم.

در این ‎‎‎پایان‎‎‎ نامه‏، با تمرکز بر روی روش ‎های‎ تغییراتی‎ به بررسی دستگاه های معادلات بیضوی شبه خطی با شرط مرزی دیریکله شامل عملگر ‎$ p $‎ ‎-‎لاپلاسین پرداخته ایم و وجود و چندگانگی جواب های آنها را به اثبات رسانیده ایم. این پایان نامه به شرح زیر سازماندهی شده است‎.‎ درفصل نخست پیش درآمدی از مفاهیم و قضایای پایه ای مورد نیاز را بیان می کنیم و به طور مختصر به روش های استفاده شده در این مجموعه می پردازیم. در فصل دوم به بررسی دستگاه بیضوی شبه خطی با غیرخطی های مقعر-محدب و توان بحرانی سوبولف در دامنه ی هموار‎‎‏ می پردازیم. در فصل سوم‏، وجود جواب های چندگانه مثبت رده ای از دستگاههای بیضوی شبه خطی با غیرخطی های مقعر-محد‎ب،‎ ‎‎شامل توان بحرانی هاردی-سوبولف‎‎ و یک تابع وزن تغییرعلامتی را اثبات می کنیم. در پایان‏، نتایج اصلی این پایان‎‎‎ نامه‏ را با بهره گیری از کلیات ذکرشده ی فصول قبل در فصل چهارم‏ مطرح می کنیم.‎ در این فصل، با تغییر و تلفیق مدل های بیان شده‏ و اضافه کردن توابع وزن دار تغییر علامتی به تمام بخش های معادلات دستگاه های فصل دوم و‎ س‎وم، نتایج را گسترش داده و اثبات کرده ایم.

دراین رساله به نظریه انشعاب به اتفاق روش تغییراتی لم مسیرکوهی و روش یکنوایی جواب های بالایی و پایینی،درحل مسائل آنالیزغیرخطی پرداخته شده است . در فصل نخست برخی تعاریف و قضایای مهم از آنالیز مقدماتی را بیان نموده و به تعریف فضای سوبولف ونرم تعریف شده در آن اشاره شد.در فصل دوم، با ارائه چند مثال به معرفی نظریه انشعاب در حد مقدماتی پرداخته و به برخی از قضایایی که در کتب ومقالات معتبر مورد بررسی قرار گرفته اند، اشاره نموده ایم. درفصل سوم ابتدا مسئله مقدار مرزی غیرخطی با شرط مرزی دیریکله را با کمک نظریه انشعاب و روش جواب های بالایی و پایینی را مورد بررسی قرار داه ایم و سپس مسئله مقدار مرزی غیرخطی با شرط مرزی نیومن را بررسی کرده وبررسی مان مبتنی بر نظریه انشعاب،لم مسیر کوهی و روش جوابهای بالایی و پایینی است.در ادامه نظریه انشعاب را برای مسئله مقدار مرزی با شرط مرزی غیرخطی مورد مطالعه قرار داده‍ ایم. در فصل چهارم به مطالعه وجود، پایداری و یکتایی جواب های مثبت دستگاه با شرایط مرزی دیریکله پرداخته ایم. و در فصل پنجم ابتدا مسئله مقدار مرزی شامل عملگر کیرشهف با شرط مرزی غیرخطی و سپس دودستگاه از نوع لاپلاس و (p,q)لاپلاس را مورد مطالعه قرار داده ایم. اساس اثبات نتایج وجودی برای مسئله اولی لم مسیر کوهی و دومی وسومی استفاده از روش جواب های بالیی و پایینی می باشد. و هدف وجود حداقل یک جواب مثبت برای این مسائل است. ?? از قضایای ?? و به برخ ?? ایم.

در این پایان نامه، به بررسی وجود جواب مثبت برای رده ای از مسائل غیرخطی با استفاده از روش جواب های بالایی-پایینی خواهیم پرداخت. در فصل اول، قضایا و تعاریف مهم بیان گردید. در فصل دوم،نشان خواهیم داد برای ??1 دو دستگاه pq-لاپلاس تکین نیمه مثبت گون با شرط مرزی دیریکله دارای یک جواب مثبت هستند و از هرکدام از این دستگاه ها یک مثال ارائه خواهیم کرد . دربخش اول فصل سوم، وجود جواب های مثبت دو دستگاه نیمه مثبت گون را مورد بررسی قرار می دهیم و همچنین در بخش دوم این فصل به تعمیم آن دو دستگاه به فرم دو دستگاه p-لاپلاس جهت بررسی وجود جواب مثبت برای ??1 می پردازیم. در فصل چهارم، دو مسأله غیرخطی p-لاپلاس تکین از نوع مسائل جمعیتی (برداشت محصول )مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در فصل پنجم، سه مسأله مقدار مرزی را بررسی کرده ایم به این ترتیب که در بخش اول، یک مسأله p-لاپلاس از نوع کیرشهف با شرط مرزی دیریکله را بررسی خواهیم کرد و در بخش دوم و سوم به ترتیب، وجود جواب مثبت یک مسأله p-لاپلاس و یک مسأله لاپلاس شامل تابع وزن تغییرعلامتی را مورد بحث قرار خواهیم داد.