مسئله زمان بندی در بسیاری از صنایع و بخش های مختلف مشاهده می شود. در جائیکه تعداد زیادی از افراد، نیازمند این هستند که رفت و آمد و قرار ملاقات هایشان ساختار بندی شود، می توان مسئله زمان بندی را مطرح ساخت. یکی از بخش هایی که همواره به یک جدول زمان بندی خوب احتیاج دارد، بخش آموزش است. با توجه به تعداد زیاد جمعیت در یک موسسه آموزشی( دانش آموزان و معلمان در مدارس یا دانشجویان و اساتید در دانشگاه ها) و برنامه های مختلف درسی، وجود یک جدول زمان بندی خوب به منظور استفاده بهینه از زمان و امکانات موجود و برقراری خواسته ها در مورد عدم تداخل دروس انتخابی، به یک نیاز حیاتی برای این موسسات تبدیل گشته است. مسائل زمان بندی درسی می توانند دارای ابعاد بزرگ (مانند مسائل زمان بندی پیش روی دانشگاه ها) یا دارای ابعاد کوچک اما مقید به قیود سخت( مانند مسائل زمان بندی پیش روی مدارس) باشد. برنامه ریزی اعداد صحیح به عنوان یکی از روش های حل مسائل بهینه سازی ترکیباتی به کمک خواص گراف ها برای حل مسئله زمان بندی درسی به کار گرفته می شود و منجر به روش هایی می شود که قادرند در زمان نسبتاً کوتاه زمان بندی هایی ارائه کنند که بسیاری از قیود متنوع را در مسئله به حساب آورند. کامل ترین فرم از مسائل زمان بندی درسی، مسئله زمان بندی کلاس و جمعیت است که در آن، کسی که زمان بندی را انجام می دهد نیاز دارد که جمعیت هر کلاس از هر موضوع درسی با چندین کلاس را تعیین کند و به علاوه برای هر درس از هرکلاس جلسه ای را در جدول زمان بندی، مشخص نماید. در این پایان نامه به بررسی مسئله زمان بندی کلاس و جمعیت برای مدارس خواهیم پرداخت. در فصل یک به مقدمه ای بر برنامه ریزی اعداد صحیح و برخی از کاربردهای آن اشاره می شود. در فصل دو برخی از تعاریف و قضایای گراف و کاربردهای آن در مسائل برنامه ریزی اعداد صحیح که لازمه ادامه بحث در زمینه مسئله زمان بندی کلاس و جمعیت است، ارائه می گردد. بیان مسئله زمان بندی درسی و انواع آن و مروری بر تحقیقات انجام شده در این زمینه، موضوع فصل سه است و در نهایت در فصل چهار یک مدل برنامه ریزی خطی اعداد صحیح برای مسئله جمعیت و بلوک بندی کلاس ارائه می دهیم.

در این رساله ابتدا مقدمات و پیش نیازهایی مانند مفاهیم پایداری میانگین-مربعی برای معادلات دیفرانسیل تصادفی بیان می شود. پس از آن با معرفی روش هایی موثر و کارا از نوع رونگ-کوتا که بر اساس تجزیه-رانش عمل می کنند، زیرکلاس هایی از این نوع روش ها با پارامترهای مناسب برای حل ضعیف دستگاه های معادلات دیفرانسیل تصادفی سخت ارائه می شود. کلاس روش های جدید بر اساس روش های رونگ-کوتای تصادفی و با تکیه بر پیچیدگی محاسباتی پایین، معرفی می گردد. در قسمت بعد با توجه به ایده روش های رونگ-کوتای رُزنبرُک در حالت تعینی، روش های رونگ-کوتای رُزنبرُک تصادفی جدید برای حل ضعیف دستگاه های معادلات دیفرانسیل تصادفی سخت معرفی می شود. در این نوع روش ها نیز زیرکلاس هایی با هزینه محاسباتی پایین بدست می آید. در مرحله بعد برای حل قوی دستگاه های معادلات دیفرانسیل تصادفی سخت که هم نسبت به رانش و هم نسبت به ضریب پخش دارای سختی هستند، روش های رونگ-کوتای تصادفی متعادل شده جدید معرفی می شود. با تحلیل پایداری میانگین-مربعی، نشان می دهیم که روش های پیشنهادی برای مسائل معادلات دیفرانسیل تصادفی سخت بسیار کارآمد هستند. در نهایت با بررسی پایداری میانگین-مربعی روش های رونگ-کوتای تصادفی متعادل شده پیشنهادی نشان می دهیم که روش های جدید برای دستگاه های معادلات دیفرانسیل تصادفی حتی با نویز چندگانه نیز مناسب می باشند .در انتهای هر فصل به کمک مثال های عددی گوناگون نشان می دهیم که مباحث نظری ارائه شده معتبر هستند.

هدف این پایان نامه ارایه الگوریتم هایی جدید برای مسایل پدیده های گذرای سریع از نوع معادلات دیفرانسیل سهموی (دوبعدی و سه بعدی) می باشد. روش های حل عددی معادلات دیفرانسیل در کل دو نوع هستند: صریح و ضمنی. در روش های صریح همگرایی کند بوده و در اکثر موارد با پایداری مشروط مواجه می شویم. در روش های ضمنی با افزایش گره ها، هزینه محاسباتی نیز بالا می رود. روش های شکافت عملگر از جمله روش هایی هستند که تکراری نبوده و از دقت مناسبی برخوردارند. از جمله روش های شکافت عملگر می توان به روش adi اشاره کرد که یک روش دو مرحله ای بوده و دقت این روش برای معادلات دیفرانسیل سهموی گذرای دوبعدی، در زمان و مکان از مرتبه دو می باشد. از آنجایی که روش adi کلاسیک را مستقیما نمی-توان برای معادلات غیرخطی شبیه سازی کرد، الگوریتم های مفیدی بر پایه این روش ارایه شده تا بتوان از این روش برای حل معادلات غیرخطی و ابقای مرتبه دقت استفاده کرد. برای این منظور با تحلیل پایداری نرم l2 روی معادلات خطی، از آن برای تحلیل پایداری مساله غیرخطی استفاده شده است. در پایان برای بالا بردن دقت الگوریتم های حل معادلات غیرخطی از روش-های قشرده نیز استفاده شده است.