یکی از مهمترین موضوعات در نظریه کنترل‏، نظریه کنترل بهینه است. درستی این مطلب را پژوهش های بسیاری در زمینه مسائل کاربردی در فیزیک‏، اقتصاد‏، فضانوردی و غیره نشان داده اند. اما برای مسئله کنترل بهینه در حالت کلی‏، جواب تحلیلی موجود نیست. به این خاطر‏، محققان بسیاری به دنبال جواب های تقریبی برای این مسئله بوده اند. می دانیم که یک مسئله کنترل بهینه منجر به یک مسئله مقدار مرزی دونقطه ای می شود که از اصل کمینه پونتریاگین حاصل آمده است و یا منجر به یک معادله دیفرانسیل جزئی معروف به هامیلتون-ژاکوبی-بلمن می گردد. در این رساله‏، چند روش تکراری را به طور موفق بر روی این دو مسئله پیاده کرده ایم‏ که برای مسائل کنترل نسبت به کنترل آفین کاربرد دارند. بدین منظور‏، ابتدا نسخه معمولی و بهبود یافته روش تکرار تغییراتی را برای حل شرایط پونتریاگین به کار بردیم. سپس از روش تقریبات تکراری به حل مسئله پرداختیم. پس از آن‏، روش تقریبات تکراری را با روش شبه طیفی لژاندر ترکیب کردیم تا هم از لحاظ دقت و هم سرعت روش تقریبات تکراری را بهبود دهد. در ادامه دو روش حل برای یافتن پاسخ معادله ‎hjb‎‎‏ که در حالت کلی کار بسیار دشواری است‏، ارائه دادیم. برای این کار‏، از دو روش تکرار تغییراتی و اختلال هموتوپی که جواب ها را به صورت تحلیلی-تقریبی می دهند‏، در دو نسخه معمولی و اصلاح شده‏ بهره بردیم. در هر قسمت‏، ‎‏چند مثال ‎‎ برای نشان دادن دقت‏، کارائی و سرعت روش های پیشنهادی ارائه کرده ایم.

‏مدل ریاضی بیشتر مسائل علمی و پدیده های طبیعی به طور غیرخطی ظاهر می شوند؛ که تنها تعداد محدودی از آن ها دارای جواب تحلیلی و دقیق هستند‏، بنابراین به دست آوردن یک جواب تحلیلی برای این مسائل کار پر اهمیتی است. روش های گوناگونی برای محاسبه جواب تحلیلی تقریبی معادلات خطی و غیرخطی موجود است که از میان آن ها می توان به روش تکرار تغییراتی هی اشاره نمود. روش تکرار تغییراتی که توسط ریاضی دان و دانشمند چینی جی هوان هی در سال 1999 به عنوان روش اصلاحی بر روی روش ضربگر عمومی لاگرانژ ارائه گردید‏، ابزار ریاضی قدرتمندی برای یافتن جواب مسائل خطی و ‏غیرخطی می باشد و در عمل به آسانی اجرا می گردد.‎ یکی از مسائل غیرخطی که محاسبه جواب تحلیلی و یا تحلیلی تقریبی برای آن دشوار است‏، مسائل کنترل پزشکی و از جمله کنترل بیماری سرطان است که در این پایایان نامه به آن می پردازیم. در واقع در این پایان نامه ابتدا یک مدل ریاضی که توصیف کننده فعل و انفعالات سلول های تومور وسلول های ایمنی بدن است مورد بررسی قرار داده و پس از اعمال تابع کنترل به مدل‏، به یافتن میزان ‏بهینه غلظت دارو برای کنترل تعداد سلول های تومور توسط تئوری کنترل بهینه می پردازیم‏، سپس شرایط بهینگی را نوشته و آن ها را توسط روش تکرار تغییراتی حل می کنیم.

در سالهای اخیر توسعه روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به دلیل سرعت محاسباتی بالا اهمیت زیادی پیدا کرده است. یک دسته از این روش های عددی، روش هایی هستند که با استفاده از توابع اسپلاین به دست می آیند. در این پایان نامه، تعریف توابع اسپلاین، تعمیم و به اسپلاین نمایی ارتقاء داده می شود. با استفاده از این توابع یک روش تازه برای حل عددی معادلات شرودینگر غیرخطی با ضرایب متغیر ایجاد می شود. روش ما بر مبنای روابط تفاضل متناهی کرانک-نیکلسون برای مشتق زمان و توابع اسپلاین برای مشتق مکان می باشد. در بخش پایانی نیز روش ایجاد شده برای حل چند مثال به کار گرفته می شود و نتایج عددی با مراجع مختلف مقایسه می شود. مقایسه نتایج عددی ما با نتایج به دست آمده از قبل، برتری و دقت روش ما را نشان می دهد.

در این پایان نامه، با توجه به اهمیت بیماری ایدز، به ارائه و تحلیل یکی از مدل های ریاضی ایدز پرداخته شده است. نکته ای که باید مورد توجه قرار گیرد، این است که در تمامی این مدل ها، پارامترهای مجهولی وجود دارند که باید مورد ارزیابی قرار گیرند. اهمیت این ارزیابی یا تخمین پارامتر، از این جهت است که این پارامترها می توانند از جامعه ای به جامعه دیگر و حتی از فردی به فرد دیگر متفاوت باشند. در واقع هر فرد یا گروهی از افراد، مدل های منحصر به فرد خود دارند، که توسط تخمین پارامترهای مدل می توان به آن دست یافت. از بین روش های تخمین پارامتر، در این پایان نامه دو روش مورد بررسی قرار گرفته اند که یکی استفاده از روش گسسته سازی و کمترین مربعات خطا، برای داده های بدون اختلال (noise) است و دیگری روشی در مبحث شناسایی سیستم های دینامیکی، به نام شناسه های تطبیقی، که برای داده های دارای اختلال مورد استفاده قرار می گیرد. پس از مشخص شدن کامل مدل ارائه شده با استفاده از تخمین پارامترهای مربوط به آن، تأثیر دو نوع دارو (داروهای مهارکننده آنزیم نسخه بردار معکوس و داروهای مهارکننده آنزیم پروتئاز) در روند پیشرفت ایدز بررسی شده است که این کار با افزودن دو تابع کنترلی به مدل ارائه شده، انجام شده است. همچنین برای کمینه کردن هزینه های درمان، مدل کنترلی بدست آمده را به یک مسئله کنترل بهینه تبدیل نموده ایم. جواب تمامی مدل های گفته شده و همچنین مسائل کنترلی مربوط به آنها را توسط روش گسسته سازی خاصی تحت عنوان avk، حل نموده ایم.