r حلقه دلخواه و یکدار است. فرض کنید ،(prim, (r) ، max,(r) ، spec(r) ) spec,(r) مجموعه همه ایده¬آل¬های اول راست(اول چپ، بیشین راست، اولیه راست) از r و ur(er)={pϵ spec r(r) | e ∉ p} باشد. همچنین فرض کنید a=u _(peprim,(r) ) specr^p(r) باشد، جایی که specrp(r) ={qϵ spec r(r) |(r/q)r ḻ =p} . در این پایان¬نامه ما به بررسی ارتباط برخی خواص حلقه و شرایط توپولوژیک روی (spec r(r و خواص توپولوژی زاریسکی ضعیف روی a خواهیم پرداخت. حلقه r را آبلی نامیم هرگاه همه عناصر خودتوان آن مرکزی باشند و آن را دو- اول¬گون نامیم اگر همه عناصر پوچتوان آن مشمول در رادیکال اول r باشند. نشان خواهیم داد که برای حلقه آبلی r ، یک دوسویی بین مجموعه همه خودتوان¬های r ومجموعه¬های باز- بسته در (spec r(r وجود دارد. همچنین نشان می¬دهیم حلقه¬های π- منظم و پاک را می¬توان با خواص توپولوژیک طیف اول آنها مشخص کرد. نتایج زیر برای حلقه r بدست می¬آید: الف) هر ایده¬آل بیشین r دوطرفه است اگروتنهااگر a فضایی با توپولوژی زاریسکی باشد اگروتنهااگر برای هرq، qϵa به عنوان یک ایده¬آل راست در r تحویل ناپذیر باشد. ب) برای هر مجموعه باز- بسته مانند u در (spec r(r ، عنصر خودتوان e در r وجود دارد به قسمی که(u=ur(er . ج) اگر r حلقه آبلی یا دو- اول¬گون باشد، آنگاه برای هر عنصر خودتوان e در r، مجموعه¬ای باز- بسته در (spec r(r است. د) (spec r(r همبند است اگروتنهااگر (spec r(r همبند باشد.