نظریه پایان های اول که توسط کاراتئودوری ابداع شد یک فشرده سازی از سطوح است. این نظریه علاوه بر کاربرد های طبیعی در توپولوژی وانالیز چندین نتیجه عمیق در نظریه سراسری دستگاه های دینامیکی از سطوح دارد. در این پایان نامه ابتدا پایان های اول را با اثباتی از قضیه کاراتئودوری که یک فشرده سازی از مجموعه های باز همبند ساده در صفحه را با اضافه کردن یک دایره با یک توپولوژی مناسب به ما می دهد معرفی می کنیم. در ای پایان نامه چندین مثال از مفهوم پایان های اول بوضوح شرح داده شده است. سپس چند کاربرد مهم از پایان های اول در دستگاه های دینامیکی معرفی شده است: قضیه نقطه ثابت کارترایت -لیتلوود-قضیه ج.متر درباره عدد چرخشی مجموعه های باز همبند ساده و ناوردا ( یا تناوبی) از وابرریختی های سطوح -خواص سراسری خمینه های پایدار ونا پایدار نقاط تناوبی هذلولوی از وابرریختی های حافظ سطح رویه ها.