یک k- جبر a، با یک نگاشت k - دوخطی a ? a { , } : a ×، یک جبر پواسون نامیده می شود اگر: (1) به ازای هر a,b ? a ، b , a} {a , b}= - { (2) به ازای هر a,b,c ? a ، {a , {b , c}} + {b , {c , a}} + {c , {a , b}} = 0 (3) به ازای هر a,b,c ? a ، {ab , c} = a{b , c} + b{a , c} . فرض کنید a یک جبر پواسون با کروش? پواسون a {. , .}باشد و فرض کنید ? و ? نگاشت های خطی از a به داخل a باشند. یک شرط لازم و کافی برای جفت (? , ?) پیدا می کنیم به طوری که حلق? چندجمله ای a[x]، به ازای هر a,b ? a ، یک کروش? پواسون به صورت {a , x} = ?(a)x + ?(a) و {a , b} = {a , b}a دارد. همچنین یک رده از جبرهای پواسون که شامل حلقه های مختصاتی ماتریس های 2×2 پواسون و 4- فضای سیمپلکتیک پواسون است، می سازیم. اگر a یک جبر پواسون با تولید متناهی روی یک میدان با مشخص? صفر باشد، ثابت می کنیم هر ایده آل اول پواسون a، اول است و روشی برای پیدا کردن ایده آل های اول پواسون در یک حلق? چندجمله ای پواسون a[x; ? , ?] ارائه می دهیم. کلمات کلیدی : مشتق - جبر پواسون - حلق? چندجمله ای پواسون - ایده آل اول پواسون.