یک مفهوم جدید از ضرب داخلی بر مجموعه های فازی معرفی می شود، از روی مطالعه و استفاده برای اثبات چندین قضیه ابتدایی که وجود، یکتایی و کرانداری جواب ها از معادلات دیفرانسیل فازی. یک نتیجه پایاهمچنین در زمینه یکسانی ثابت می شود.

آب مهم ترین عامل محدودکننده توسعه کشاورزی در اکثر کشورهای در حال توسعه از جمله ایران است در عین حال به دلایل مختلف، برداشت غیراصولی از منابع آب در بخش کشاورزی موجب بروز بحران برای این منابع شده است که از مهم ترین این دلایل می توان به ارزان بودن نهاده آب نسبت به سایر نهاده های کشاورزی اشاره نمود. لذا همواره سیاست افزایش قیمت آب به عنوان راهکاری جهت کاهش فشار بر منابع آبی، مد نظر برنامه ریزان بوده است. در کنار مکانیزم افزایش قیمت، در سال های اخیر ظرفیت جدیدی به نام آب مجازی نیز به عنوان ابزاری در جهت همگون سازی توزیع ناهمگون منابع آب در راستای کاهش فشار بر منابع آبی، مورد توجه قرار گرفته است. در این مطالعه ابتدا تراز مبادله آب مجازی توسط محصولات زراعی در شهرستان خاتم واقع در استان کم آب یزد که با منفی شدن سطح تراز آب های زیرزمینی مواجه شده است، بررسی می شود تا در صورت امکان با اصلاح الگوی کشت زراعی، ورود و خروج آب مجازی از طریق محصولات زراعی در تعادل قرار بگیرد و یا ترجیحاً به نفع منطقه تغییر کند. اما نتایج برآوردها نشان داد که با توجه به جمعیت کم منطقه در مقابل میزان تولیدات زراعی نسبتاً بالا، خروج آب مجازی توسط محصولات زراعی بسیار بیشتر از ورود آن است به نحوی که تراز نمودن مبادله آب مجازی منوط به کاهش گسترده سطح زیرکشت محصولات می باشد که این امر با توجه به این که شهرستان خاتم، قطب کشاورزی استان یزد بوده و تأمین کننده بخش زیادی از نیاز محصولات زراعی استان یزد می باشد و نیز شغل غالب ساکنان منطقه، کشاورزی است امکان پذیر نیست. در ادامه با توجه به ارزان بودن نهاده آب در منطقه مورد مطالعه به علت حاکمیت سیستم خودمالکی بر منابع آبی چاه عمیق و برداشت بی رویه و فشار بر منابع آب، با استفاده از اطلاعات 102 پرسش نامه جمع آوری شده از زراعت کاران منطقه و بهره گیری از تکنیک برنامه ریزی ریاضی مثبت (pmp)، اثر سیاست افزایش قیمت آب بر الگوی کشت و میزان خروج آب مجازی در سه گروه بهره بردار زراعی نماینده بررسی شد. طبق نتایج به دست آمده گرچه سیاست افزایش قیمت آب می تواند موجب کاهش مصرف آب در هر سه گروه به وسیله کاهش سطح زیرکشت اکثر محصولات زراعی شود اما جهت جایگزین نمودن محصولات با نیاز آبی کم به جای محصولات با نیاز آبی بالا، لازم است که سیاست های مکمل نیز همراه با سیاست افزایش قیمت آب، به کار گرفته شوند و نیز سیاست تثبیت قیمت محصولات کم آب بر مانند گندم و جو ادامه نیابد.