داده های آماری مرتب شده نقش مهمی در استنباط آماری، آزمون های طول عمر، نظریه ی قابلیت اعتماد، آزمون های نیکویی برازش و بسیاری از شاخه های دیگر آمار و احتمال ایفا می کنند. هدف اصلی از نگارش رساله ی حاضر، مطالعه ی پیشرفت های اخیر در زمینه ی آماره های ترتیبی و توسعه و تعمیم برخی از نتایج موجود می باشد. برای این منظور از مدل آماره های ترتیبی تعمیم یافته که شامل آماره های ترتیبی، مقادیر رکورد و چند مدل آماری دیگر می باشد، استفاده می کنیم. به کمک این مدل با روشی واحد می توان به طور نظری به توصیف شباهت های آماره های ترتیبی، مقادیر رکورد و برخی دیگر از داده های مرتب شده پرداخت. اکثر نتایج موجود در متون آماری با اعمال محدودیت هایی بر پارامترهای مدل آماره های ترتیبی تعمیم یافته بیان و اثبات شده اند. در این رساله نتایجی در زمینه ی مشخص سازی توزیع های احتمال بر اساس آماره های ترتیبی تعمیم یافته بدون اعمال هیچ محدودیتی بر پارامترهای مدل ارائه می کنیم که نتایج جدیدی برای مدل هایی مانند مقادیر رکورد فیفر و آماره های ترتیبی سانسور فزاینده نوع ii از راست در پی خواهند داشت. همچنین به بیان نتایج مشخص سازی برای توزیع های نمایی، توانی و پارتو بر اساس معادلات تابعی و مدل های مختلفی از متغیرهای تصادفی مرتب شده می پردازیم. در سال های اخیر ویژگی باقیمانده عمر سیستم ها توسط محققان بسیاری بررسی شده است که اکثر آنها این مسأله را در حالتی که سیستم شامل مولفه های مستقل باشد، مورد بحث قرار داده اند. در این مطالعه، باقیمانده عمر سیستم های منسجم را در حالتی که مولفه های سیستم وابسته باشند، مورد بررسی قرار می دهیم. چند مقایسه ی جدید در این زمینه انجام شده و رفتار میانگین باقیمانده عمر سیستم مورد مطالعه قرار می گیرد. همچنین نتایج مشخص سازی و ترتیب بندی تصادفی بر اساس باقیمانده عمر واحدهای سالم مانده (پس از شکست kاُم) در آزمون طول عمر با طرح سانسور فزاینده مطرح می شوند. معیاری نیز بر مبنای زمان بین دو مقدار k-رکورد پایینی پیشنهاد شده و ویژگی های آن مورد بررسی قرار می گیرد. بر مبنای این معیار، نتایج جدیدی در زمینه ی مشخص سازی توزیع توانی و مقایسه های تصادفی مطرح می شوند.

یکی از اهداف اصلی در بررسی های قابلیت اعتماد مطالعه ی طول عمر سیستم ها است. این مطالعات برای سازندگان سیستم ها از اهمیت خاصی برخوردار است، چرا که یک سیستم از لحاظ کاربردی زمانی مفید واقع می شود که طول عمر آن نسبت به سیستم ها ی مشابه از جنبه های مختلف برتری داشته باشد. برای آگاهی از سالم بودن یک سیستم در زمان های مختلف، باید به طور مداوم آن را کنترل کرد، اما دلایلی همچون پرهزینه و وقت گیر بودن بررسی مداوم باعث می شود عملکرد سیستم در چند مرحله بررسی می شود. به این روش بررسی و کنترل عملکرد سیستم ها اصطلاحاً چند دیده بان گویند. در سال های اخیر پژوهشگران به این نتیجه رسیده اند که یک ابزار قوی برای مطالعه جنبه های سالخوردگی سیستم های منسجم، استفاده از بردار علامت است. بردار علامت این امکان را فراهم می کند که بتوانیم تابع قابلیت اعتماد طول عمر یک سیستم منسجم را به صورت ترکیبی از تابع قابلیت اعتماد آماره های ترتیبی نشان دهیم. در این پایان نامه پیشرفت های اخیر در زمینه ترتیب بندی باقی مانده عمر و گذشته عمر سیستم k از n را به حالت چند دیده بان تعمیم داده می شود. سپس با به کارگیری بردار علامت این نتایج را به سیستم های منسجم تعمیم داده می شود. سپس با به کارگیری بردار علامت این نتایج را به سیستم های منسجم توسعه خواهیم داد. میانگین باقی مانده k-رکورد با دو دیده بان نیز مورد مطالعه قرار خواهد گرفت.

در قابلیت اعتماد و صنعت با سیستم هایی متشکل از تعدادی مولفه سروکار داریم که برای انجام یک هدف به یکدیگر متصل شده اند. هر مولفه به طور مستقل یا وابسته با مولفه های دیگر بسته به نوع اتصالش در سیستم وظیفه ای را انجام می دهد. به دلیل تنوع زیاد در توزیع های طول عمر سیستم ها، نمی توان آنها را با توابع توزیع ساده تقریب زد و چون توزیع وایبل انعطاف پذیر بوده و با تغییر پارامترهای شکل و مقیاس این توزیع می توان آن را به انواع گوناگونی از داده ها برازش داد، برای تقریب طول عمر یک سیستم دلخواه از توزیع وایبل استفاده می شود. اما علاوه بر آن ممکن است اطلاع کافی در مورد ساختار و پیشینه سیستم نداشته باشیم و اندازه های متغیرهای تصادفی تحت دو یا چند شرط به دست آمده باشند و بیش از یک نما در هیستوگرام داده ها دیده شود. به همین دلیل برای تقریب قابلیت اعتماد می توان از توزیع های آمیخته با مولفه های وایبل استفاده کرد. یکی از اهداف مهم هنگام استفاده از این مدل، برآورد پارامترهای مجهول آن است که به علت تعداد زیاد پارامترهای مجهول کار سختی است. برای برآورد پارامترهای مدل می توان از روش های مختلفی استفاده نمود که در این پایان نامه به برآورد پارامترهای مدل آمیخته وایبل، به روش های کلاسیک، نموداری و بیزی در دو حالت وجود و عدم وجود متغیرهای کمکی در مدل می پردازیم و برای نشان دادن برتری مدل ارائه شده مقایسه ای بین مدل وایبل سه پارامتری با مدل ارائه شده انجام خواهیم داد. سپس قیود ضروری روی وزن ها و پارامترهای مولفه ها در مدل آمیخته وایبل را ارائه نموده تا مدل موردنظر، مدل احتمال قابل قبولی باشد. همچنین به بیان ویژگی های سالخوردگی در این مدل خواهیم پرداخت و در پایان ویژگی های قابلیت اعتماد را در مدل های دوتایی با فرض استقلال و وابستگی مولفه ها بررسی می کنیم‎.