معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری برای اولین بار در سال 1695 توسط هوپیتال (1704-1661) و لایب- نیتز (1716-1646) مطرح شد. بعد از آن بدلیل کاربرد و اهمیت آن مورد توجه دانشمندانی دیگر مانند اویلر،لاگرانژ، لاپلاس ، فوریه، لیوویل، ریمان ،گرانولد، لتنیکوف، آبل، وایل و... قرار گرفت .اخیرا مقالات و کتبی درباره وجود و چندگانگی جوابها (یا جوابهای مثبت) برای معادله دیفرانسیل غیر خطی از مرتبه کسری با شرایط اولیه وجود دارد، که این نوع مسائل را با استفاده از روشهای آنالیز غیرخطی، مانند قضایای نقطه ثابت و نظریه لری- شودر بررسی می کنند. با توجه به اهمیت این موضوع بر آن شدیم که وجود جواب را برای مسئله مقدار مرزی از مرتبه کسری، در حالات غیر موضعی و غیر خطی بررسی کنیم. پیشگفتار معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری برای اولین بار در سال 1695 توسط هوپیتال (1704-1661) و لایب- نیتز (1716-1646) مطرح شد. بعد از آن بدلیل کاربرد و اهمیت آن مورد توجه دانشمندانی دیگر مانند اویلر،لاگرانژ، لاپلاس ، فوریه، لیوویل، ریمان ،گرانولد، لتنیکوف، آبل، وایل و... قرار گرفت . درسالهای اخیر عبارت "حساب کسری " به انتگرال گیری و مشتق گیری ، از یک مرتبه دلخواه اشاره دارد. بطور قابل ملاحضه، حساب کسری کاربرد فراوانی در عرصه های گوناگون علم و تکنولوژی از جمله معادلات موج و انتشار، الکترومغناطیس، رباتیک، مدلسازی، ویسکو پلاستیک، انعکاس بلندگوها، جریان الکتریکی، علوم بیولوژیکی و بخصوص مسائل ریاضی، فیزیک، شیمی وزمین شناسی وسایر فرآیندها دارد. به همین دلیل حساب کسری بسیار مورد توجه قرار گرفته، و به سرعت در حال توسعه می باشد . اخیرا مقالات و کتبی درباره وجود و چندگانگی جوابها (یا جوابهای مثبت) برای معادله دیفرانسیل غیر خطی از مرتبه کسری با شرایط اولیه وجود دارد، که این نوع مسائل را با استفاده از روشهای آنالیز غیرخطی، مانند قضایای نقطه ثابت و نظریه لری- شودر بررسی می کنند. با توجه به اهمیت این موضوع بر آن شدیم که وجود جواب را برای مسئله مقدار مرزی از مرتبه کسری، در حالات غیر موضعی و غیر خطی بررسی کنیم. بطور کلی این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل می باشد. در فصل اول به معرفی مفاهیم اولیه و تعاریف قضایای مقدماتی از حساب کسری می پردازیم. در فصل دوم ابتدا یک مسئله از مرتبه کسری با شرایط اولیه را در حالت کلی معرفی کرده، و وجود جواب آن را بررسی می کنیم . سپس با در نظر گرفتن یک مسئله مقدار مرزی غیرموضعی از مرتبه کسری، وجود و یکتایی جواب مثبت آن را با استفاده از قضایای نقطه ثابت باناخ و شودر بدست می آوریم. در فصل سوم یک مسئله مقدار مرزی غیرخطی از مرتبه کسری را در نظر گرفته، و وجود و چندگانگی جوابهای مثبت آن را دو حالت منفرد و نامنفرد، با استفاده از قضایای نقطه ثابت کراس نوسلسکی و لری- شودر ثابت می کنیم. در فصل چهارم با فرض همان مسئله مقدار مرزی از فصل دوم و در نظر گرفتن شرایط جدید، وجود و یکتایی جواب این مسئله را با توجه به کران داری انتگرال کسری ریمان- لیوویل و قضیه نقطه ثابت باناخ بررسی می کنیم.

با توجه به عنوان مقاله بحث اصلی ما حول محور همگرایی الگوریتم آبشاری در فضای سوبولف و کاربردهای حاصل از این همگرایی می باشد. بنابراین مطالب به صورت زیر طبقه بندی می شوند:اولین مطلبی که به آن پرداخته می شود این است که : الگوریتم آبشاری با نقاب ‏‎a‎‏ و اتساع ‏‎m‎‏، از یک تابع آغازین تهی و با استفاده از فرآیند تکراری تولید می کند که در آن ‏‎m‎‏ یک ماتریس اتساع است . در ادامه قضایایی را مورد بررسی قرار می دهیم که در آن قضایا شرطهای لازم از همگرایی قوی الگوریتم آبشاری در فضای سوبولف برای شرایط گشتاوری تابع آغازین تهی و برقراری قوانین جمع نقاب متناظر با الگوریتم آبشاری بدست می آید. بعد از بیان این قضایا توصیفی کامل از همگرایی قوی الگوریتم آبشاری در فضای سوبولف بر حسب نقاب متناظرش خواهیم داشت . البته دراین حالت ماتریس اتساع ‏‎m‎‏خاصیت ایزوتروپیک دارد. همچنین قضایایی که دراین قسمت بیان و اثبات می شوند از یک جهت وابسته به یک نتیجه از همگرایی آبشاری در فضای خواهند بود. درادامه با استفاده از نتایجی که از همگرایی الگوریتم آبشاری بدست می آوریم آنها را در استنتاج شرایط ساده برای محاسبه انتگرال حاصلضرب مشتقات توابع قابل تظریف و موجکها بکار خواهیم برد.