در یک گراف درجه متوسط موضعی یک راس میانگین حسابی درجات همسایه های آن راس و درجه متوسط سراسری آن گراف میانگین حسابی کل درجات می باشد. یک راس را گروپی می نامیم اگر درجه متوسط موضعی آن از درجه متوسط سراسری گراف کمتر نباشد. در این پایان نامه به بررسی وجود راس های گروپی در گراف های مختلفمی پردازیمو همچنین نسبت های موضعی و سراسری را در گراف های دوبخشی، بویژه درخت ها مورد مطالعه قرار می دهیم که در آن منظور از نسبت موضعی، نسبت درجه متوسط موضعی هر راس به درجه متوسط سراسری گراف می باشد که مهمترین مساله در این محث این است که کوچک ترین نسبت موضعی در یک گراف به چه بزرگی می تواد باشد و برای این امر تابع f(n) تعریف و بررسی می شود. سپس درجات متوسط موضعی مکرر را تعریف می کنیم و در مورد آنها نتایجی را با استفاده از قضیه اساسی زنجیر مارکف به دست می آوریم و در نهایت به تخمین تعداد راس های گروپی در گراف های تصادفی می پردازیم