فرض کنیم یک ایدال از زیرمجموعه فضای متری باشد. این مقاله به بررسی حالتی قوی تر از مفهوم پیوستگی یکنواخت از تحدید توابع بر عناصر می پردازد که وقتی از زیرمجموعه های متناهی تشکیل شده باشد، مفهوم معرفی شده به پیوستگی معمولی کاهش می یابد و هنگامی که مجموعه ی توانی و یا خانواده ای از زیرمجموعه های فشرده ی باشد، با پیوستگی یکنواخت روی عناصر منطبق خواهد بود.در این مقاله همچنین توپولوژی های فضای تابعی جدیدی معرفی می شود که کاملا با تعمیم فوق سازگار هستند. به عنوان یک نتیجه از قضیه کلی شرایط لازم و کافی برای پیوستگی حد نقطه ای یک تور از توابع پیوسته را نمایش می دهیم.