در سال های اخیر توابع بی اسپلاین به واسطه خواص مطلوبی که برای طراحی منحنی ها و رویه های اسپلاین و همچنین حل معادلات دیفرانسیل ایجاد می کنند، مورد توجه فراوانی قرار گرفته اند. بعضی از این خاصیت ها عبارتند از: خاصیت بازگشتی، خاصیت نامنفی بودن و خاصیت پوشش محدب. برای حل مسائل معادلات دیفرانسیل روش های بسیار زیادی وجود دارند، روش هم مکانی یکی از انواع روش های مبتنی بر گسسته سازی می باشد که به یک ابزار قدرتمند برای حل انواع معادلات دیفرانسیل تبدیل شده است. از جمله اهداف این پایان نامه استفاده از توابع بی اسپلاین درجه سوم و درجه پنجم برای حل عددی مسائل مقدار مرزی می باشد. روش هم مکانی را بر مبنای استفاده از پایه های بی اسپلاین درجه سوم برای حل عددی برخی معادلات دیفرانسیل با مشتفات جزئی از جمله معادله انتقال حرارت و همچنین معادله حرکت نوسانی جرم متصل به سیم ارتجاعی و مسأله تروش به کار می بریم. برای حل عددی مسأله غیرخطی مرتبه چهارم با شرایط مرزی جداگانه و معادله جریان فشرده بین دو صفحه نا متناهی از پایه های بی اسپلاین درجه پنجم استفاده کردیم.

در این پایان نامه یک ساختار از دو خانواده ی غیرکلاسیک از چندجمله ای های متعامد ارائه شده است. این چندجمله ای ها را در اصطلاح چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه نوع اول و دوم می نامند؛ که اولین بار توسط هویبرخس در سال 2010 معرفی شدند. چندجمله ای های کلاسیک چبیشف روی بازه ی $ [-1,1] $ تعریف شده اند, چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه روی بازه ی کوچکتری تعریف می شوند, به کمک الگوریتم چبیشف این چندجمله ای ها را روی نیمی از دامنه ی $ [-1,1] $، یعنی بازه ی $ [0,1] $ می سازیم و برخی از خواص آن ها را نشان می دهیم. چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه نیز مانند چندجمله ای های متعامد کلاسیک می توانند برای تقریب توابع مورد استفاده قرار گیرند. بدین ترتیب که هر تابع انتگرال پذیر را می توان به صورت یک سری نامتناهی از این چندجمله ای ها نمایش داد؛ که این سری را, سری چبیشف نیم دامنه فوریه می نامند و به صورت اختصاری $ hcf $ نشان می دهند. در اینجا به محاسبه مشتق و ضرب سری های قطع شده ی $ hcf $ می پردازیم. هدف اصلی، استفاده از این سری ها جهت حل عددی معادلات دیفرانسیل به یک روش طیفی و یا شبه طیفی است. از این رو ماتریس های عملگری ضرب و مشتق را نیز به دست می آوریم. vspace*{0.7cm} oindent extbf{large{واژه های کلیدی:}} چندجمله ای های چبیشف نیم دامنه، چندجمله ای های متعامد، رابطه بازگشتی سه جمله ای، ماتریس مشتق، ماتریس ضرب. extbf{large{رده بندی موضوعی ریاضی lr2010: }}08lr{c}11, 99lr{c}11, 45lr{c}33.

هدف اصلی این پایان نامه معرفی خانواده ای غیر کلاسیک از چندجمله ای های متعامد است . این چندجملهای ها روی بازههای [c,-c] ا [c,-1] نسبت به تابع وزن ژاکوبی متعامد هستند و دراصطلاح،چندجمله ای های ژاکوبی زیردامنه نام دارند. برای محاسبه ی ضرایب بازگشتی این چندجمله ای ها روش سازی استیلت یس را به کارمی بریم و هم چنین به بررسی قواعد انتگرال گیری متناظر با این چندجمله ای ها هم می پردازیم . هم چنین در این پایان نامه به بررسی یک قضیه مهم در مورد قواعد انتگرال گیری به نام قضیه دایره می پردازیم.

چکیده ندارد.