چون معادلات دیفرانسیل مخصوصاًبا مشتقات جزئی مانند گرما، موج و... در علوم مهندسی ،فیزیک، شیمی و مکانیک سیالات به کار می روند و از آنجایی که حل معادلات غیر خطی(به ویژه حل تحلیلی)مشکل است و به علت وقت گیر بودن سایر روشهای عددی در حل این گونه معادلات، روشی تحلیلی برای همگرایی سریعتر به جواب دقیق، به نام آنالیز هموتوپی معرفی شد. در سال 1992 پروفسور شی جان لیائو در رساله دکتری خود روشی تحلیلی برای حل معادلات دیفرانسیل ارائه داد که به روش آنالیز هموتوپی معروف شد. در این رساله روش جدید آنالیز هموتوپی(ham) برای حل معادلات دیفرانسیل معرفی می شود. ham مبتنی برهموتوپی که یک مفهوم بنیادی در توپولوژی است، می باشد. این روش یک تقریب تحلیلی کلی برای رسیدن به سری جواب انواع مختلف معادلات خطی و غیرخطی مانند معادلات جبری،دیفرانسیل معمولی، با مشتقات جزئی، دیفرانسیل جبری ودستگاههای آنها می باشد. بر خلاف روش های آشفتگی، ham به پارامتر های کوچک یا بزرگ فیزیکی وابسته نیست و بنابر این برای هرمسئله فیزیکی خواه شامل پارامتر کوچک یا بزرگ باشد یا نباشد، معتبر است. این روش با آزادی عملی که در انتخاب عملگر خطی، تابع کمکی، پارامتر کمکی و تقریب اولیه جواب دارد، برای ما راهی مناسب برای کنترل همگرایی سری جواب مهیا می سازد. این رساله شامل 5 فصل می باشد. در فصل اول به معرفی روش آنالیز هموتوپی و روش اصلاح شده آن می پردازیم. در فصل دوم قضیه همگرایی و قوانین اساسی و در فصل سوم و چهارم به روش آدمین و آشفتگی هموتوپی و ارتباط آنها با این روش می پردازیم و در فصل پنجم کاربردهای این روش را خواهیم داشت.

دستگاه‏ های دینامیکی آشوبناک، به ازای دو شرط اولیه بسیار نزدیک به هم‏، در یک زمان متناهی پاسخ های بسیار متفاوتی دارند. حال آنکه پاسخ های این دستگاه ها در یک محدوده مشخص باقی می مانند. این نشان می دهد که در صورت وجود خطای بسیار جزئی در اندازه گیری شرایط اولیه (که اجتناب ناپذیر است) پیش بینی رفتار آینده دستگاه از روی مدل (حتی اگر مدل دقیق باشد) میسر نیست. به همین منظور راهکارهای گوناگونی برا‎‎‏ی حذف آشوب در آنها ارائه شده است. معمولا‏‏ً به روش هایی که با سیگنالهای کنترلی کم انرژی اقدام به حذف آشوب می کنند، کنترل آشوب اطلاق می شود. این رساله در دو قسمت تدوین شده است. در قسمت اول یک مطالعه نظری بر روی کنترل و همزمان سازی آشوب در دستگاه‏ های دینامیکی انجام داده ایم. علاوه بر این کرانداری نهایی دستگاههای دینامیکی خودگردان درجه دوم را مورد بررسی قرار داده ایم. همچنین مدهای رقابتی برای سیال ابرآشوبناک بیر-سال را مورد مطالعه قرار داده ایم. در قسمت دوم، روش طیفی آنالیز هموتوپی را از ترکیب روش آنالیز هموتوپی به ترتیب با چندجمله ایهای لژاندر و لاگر، معرفی کرده ایم. روش های ارائه شده برای حل مسائل مقدار اولیه آشوبناک و تقریب جواب مسأله مقدار مرزی دو نقطه ای ناشی از کنترل بهینه و کنترل آشوب به کار گرفته شده اند. همگرایی روش های طیفی آنالیز هموتوپی بر مبنای چندجمله ایهای لژاندر و لاگر را اثبات کرده ایم. با ارائه چندین مثال موثر بودن، سرعت اجرا و دقت این رو ش ها را مورد تأیید قرار داده ایم.

هدف این پایان نامه‏، معرفی روش هایی برای حل تقریبی-تحلیلی مسائل مقدار اولیه غیرخطی ناشی از آشوب و نیز مسائل مقدار مرزی کاربردی با هزینه محاسباتی پایین ‎‎‏در بازه های زمانی بزرگ می باشد. برای این منظور ‎‏توسعه ای از روش آنالیز هموتوپی‎‎(‎‎‎‎ham)‎ ‎ با عنوان های روش طیفی آنالیز هموتوپی‎‎(‎‎‎‎sham) ‎‏‏ و روش قطعه ای-طیفی آنالیز هموتوپی(‎‎‎psham) ‎‏ و همچنین یک توسعه از روش خطی سازی متوالی‎(slm)‎ ‎‎‎ با‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ عنوان ‏‎‎روش خطی سازی متوالی ‎‏قطعه ای (‎‎‎pslm)‎ ‎‏را معرفی می کنیم. این روش ها با تقسیم بازه های بزرگ به بازه های کوچکتر و حل مسأله مورد نظر در این بازه ها‏، این کار را انجام می دهند. از این روش ها برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی که در ناحیه مورد نظر دارای جواب های هموار هستند‏، استفاده می کنیم.‎‎‎