برای حلقه یکدار r ? گراف هم ماکسیمال حلقه r ? که با ?(r) نشان داده می شود، گرافی ساده است که رأس های آن همه ی عناصر r بوده و دو رأس متمایز x و y مجاور هستند، اگر و تنها اگر rx+ry=r . هدف از مطالعه ی گراف هم ماکسیمال، ایجاد ارتباط بین نظریه ی گراف و نظریه ی حلقه می باشد. این پایان نامه در دو مرحله انجام ?می شود. مرحله اول: ابتدا زیرگراف? ?(r)? از گراف ?(r) که وابسته به عناصر غیر یکه r است را معرفی می کنیم و در حالی که r حلقه جابجایی باشد، همبند بودن و قطر این گراف را بررسی کرده و به طور کامل قطر گراف j(r) ?(r)? ، به طوری کهj(r) ??رادیکال جیکبسن حلقه r است، ?را توصیف می نمائیم. به ویژه، شرط لازم و کافی بین یکریختی دو گراف و یکریخت بودن حلقه هایشان را بررسی خواهیم کرد و ثابت می کنیم اگر r و s دو حلقه نیم موضعی متناهی باشند، به طوری که r تحویل یافته است، آن گاه??(r)??(s) می باشد، اگر و تنها اگر r?s . مرحله دوم: فرض می کنیم r یک حلقه ( نه لزوما جابجایی) باشد و نشان می دهیم اگر r حلقه ی آرتینی چپ باشد آن گاه j(r) ?(r)? همبند است و اگر j(r) ?(r)? ?جنگل در نظر گرفته شود، آن گاه j(r) ?(r)? گراف ستاره می باشد. سپس ثابت های عددی از ?(m?_n (f_q))2?، مانند درجه مینیمال، درجه ماکسیمال، عدد همبندی، خوشه ای و رنگی را محاسبه می کنیم. در آخر، به این سئوال پاسخ می دهیم که اگر ?(s)? ? ?(r)?، آیا می توان در حالت کلی r?s را نتیجه گرفت و با مثال نقضی حالت کلی را رد می کنیم. اما ثابت می کنیم که اگر r ، حلقه ای یکدار و f_q? میدان متناهی با q ?عنصر بوده و?2? n? باشد به طوری که ?(m?_n (f_q))2? ? ?(r)? ، آن گاه r?m_n (f_q) و هم چنین اگر r و r دو حلقه جابجایی متناهی یکدار و r تحویل یافته بوده ?و به ازای 2 n,m? ، ?(m?_m (r^))2? ? ?(m?_n (r))2? باشند، آن گاه n=m ? و r?r .