مطالعه معادلات دیفرانسیل فازی سابقه چندان طولانی ندارد و روشهای بیان شده برای حل این معادلات بسیار محدود می باشند. در این رساله، ابتدا سعی در بررسی معادله دیفرانسیل فازی مرتبه اول با مشتق هوکوهارا شده و روش عددی جدید برای حل این نوع معادله معرفی می شود. سپس معادله دیفرانسیل فازی مرتبه اول را با مشتق تعمیم یافته در نظر گرفته و روشهای حل این مساله بحث می شود. همچنین به کار گیری مشتق های مرتبه بالا برای معادلات دیفرانسیل فازی را با مشتق تعمیم یافته مورد بررسی قرار داده و مفهوم جواب های جدید معادلات دیفرانسیل فازی مرتبه بالا را بیان می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا مجموعه های فازی را معرفی می کنیم، سپس اعداد فازی را معرفی کرده و ویژگی ها و نحوه ی محاسبات با آنها را توضیح می دهیم. از آنجا که محاسبات با اعداد فازی پیچیده و پر هزینه می باشد، ممکن است سبب بروز مشکلاتی در پردازش داده ها شوند. در ادامه، برای رفع این مشکلات، تقریب های اعداد فازی (بازه ای، مثلثی و ذوزنقه ای) را معرفی می کنیم. با تقریب اعداد فازی اطلاعات زیادی از عدد فازی اصلی از بین می رود، هدف این پایان نامه معرفی تقریب هایی است که در حد امکان ویژگی های بیشتری از عدد فازی اصلی را حفظ کند و همچنین نسبت به متر مورد نظر به عدد فازی اصلی نزدیکترین باشد.

فرآیندهای تقریب مثبت، نقش اساسی در نظریه ی تقریب ریاضیات کلاسیک بازی می کند. در سال 1953 کاروکین معیار و محک بسیار ساده و کارایی را برای تعیین همگرایی عملگرهای مثبت خطی ارائه داد. بعد از کاروکین ریاضیدان های بسیاری برای تعمیم این قضیه به فضاهای مختلف و مجردتر تلاش کردند که در تمام نتایج به دست آمده تا سال 1994 گردآوری شده است. از طرف دیگر در سال 1965، نظریه ی منطق فازی توسط پرفسور لطفی زاده ارائه شد که در سال های اخیر ریاضیدان های بسیاری تلاش کردند که مفاهیم کلاسیک را با زبان فازی بیان کنند. در این راستا آنستازیو نتایج بسیار مهم و جالبی دارد و نتایج کلاسیک تقریب به کمک عملگرهای مثبت خطی را برای ریاضیات فازی تعمیم داده است از جمله قضایای کاروکین و از نوع کاروکین را با ارائه ی مفهوم همگرایی فازی توابع پیوسته ی فازی و توابع مثلثاتی فازی تعمیم داد. در این تحقیق، نتایج کلاسیک تقریب توسط عملگرهای مثبت خطی و تعمیم این نتایج به حالت فازی بررسی شده است که مبتنی بر کارهای آنستازیو می باشد. این پایان نامه در چهار فصل تنظیم شده است. در فصل اول تعاریف و مفاهیم اولیه ی نظریه ی تقریب و ریاضیات فازی مورد استفاده در فصل های بعد بیان شده است. از جمله ی این تعاریف و مفاهیم عملگرهای مثبت خطی، مدول پیوستگی، مجموعه های فازی، r-برش ها، اعداد فازی، عملگرهای فازی مثبت خطی و مدول پیوستگی فازی می باشند. در فصل دوم به بیان قضیه ی کاروکین و حالت تعمیم یافته ی آن در ریاضیات فازی می پردازیم. برای این منظور نامساوی شیشا-موند کلاسیک و فازی را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. فصل سوم به بیان قضیه ی کاروکین مثلثاتی فازی و عملگر جکسون فازی می پردازد. برای این هدف نامساوی شیشا-موند مثلثاتی فازی و کلاسیک آن و انتگرال پذیری ریمان فازی بیان می شود. در فصل چهارم مفهوم همگرایی فازی دنباله ای از عملگرهای فازی مثبت خطی مورد بررسی قرار می گیرد که قضایای از نوع کاروکین فازی و نامساوی شیشا-موند فازی بررسی شده است. همچنین در این فصل با مفاهیمی مانند سری های فازی، توابع هم پیوسته ی فازی، اندازه پذیری و انتگرال پذیری فازی و قضیه ی نمایش ریس فازی آشنا می شویم.

در این پایان نامه تعاریف متعددی برای مشتق تابع مقدار-بازه ای بیان و روابط میان این تعاریف و ویژگی هایشان بررسی می شوند. با استفاده از تفاضل هوکوهارای تعمیم یافته برای مجموعه های محدب فشرده، مشتق هوکوهارای تعمیم یافته ی توابع مقدار-بازه ای معرفی می شود. با کمک این مفهوم، معادلات دیفرانسیل بازه ای مطالعه و وجود و یکتایی دو جواب موضعی برای آن ثابت می شود.همچنین مزایای استفاده از مشتق هوکوهارای نوع دوم در مسأله ی مقدار اولیه ی بازه ای بیان می شود. وجود جواب های موضعی تقریبی و در نتیجه وجود حداقل یک جواب موضعی برای مسأله ی کوشی بازه ای با مشتق هوکوهارای نوع دوم ثابت می شود. سرانجام، فرمولی صریح برای جواب های موضعی معادلات دیفرانسیل بازه ای خطی ارایه می گردد.

چکیده در این پایان نامه معادلات تفاضلی فازی معرفی و چند مورد از کاربرد های آن بیان می شود. برای این منظور ابتدا به تعریف معادلات تفاضلی می پردازیم و بیان می کنیم که هر معادله تفاضلی می تواند همگن یا غیر همگن، خطی یا غیر خطی باشد و روش های حل هر کدام را نیز به اختصار توضیح می دهیم. حال اگر در معادلات تفاضلی داده های اولیه مساله دارای عدم قطعیت باشند استفاده از معادلات تفاضلی فازی می تواند مفید باشد. معادله تفاضلی فازی نیز همانند معادله تفاضلی انواع مختلفی دارد. حالت خطی معادله تفاضلی فازی را در قالب دو مثال شرح می دهیم. همچنین معادلات تفاضلی فازی غیر خطی معرفی شده و وجود جواب منحصربفرد، کرانداری و رفتار غیر نوسانی جواب این دسته از معادلات تفاضلی فازی را بررسی می کنیم. در پایان کاربرد هایی از معادلات تفاضلی فازی برای تعیین ارزش زمانی پول در ریاضیات مالی مورد بحث قرار می گیرد .

یافتن ژن ها در میان توالی های ژنومی و تحلیل و مقایسه ی آن ها جهت پیش بینی ساختار پروتئین یکی از مهمترین مباحث علم بیوانفورماتیک است. در این پایان نامه به تحلیل و مقایسه ی توالی های ژنومی و تشابه آمینواسیدها پرداخته شده است. برای این منظور فضای پلی نوکلئوتید فازی و برخی از ویژگی های ان معرفی شده است و سپس توای های ژنومی جهت پیدا کردن درجه تشابه و تفاوتشان تحلیل و مقایسه شده اند. سپس با استفاده از متریک های ان تی وی و مینکوفسکی درجه تشابه آمینواسیدها پیدا شده است که برای تحلیل توالی های ژنومی مفید است. در نهایت با معرفی قطعه های فازی و نقاط میانی فازی، این تعازیف برای داده های واقعی به کار برده شده است.