قضیه کلاینیکه شیروکف و تعمیمهای آن خاصیتی از برد نگاشت هایی موسوم به اشتقاق را بیان می کنند که با پیوستگی این نگاشت ها درارتباط است. دراین رساله نشان می دهیم که برای اشتقاق دلخواه dاگر داشته باشیم d^2a=0 آنگاه daشبه پوچ توان است. همچنین برای اشتقاق پیوسته dاگر داشته باشیم ada=da.aآنگاه daشبه پوچ توان است. و در پایان یک حالت موضعی از این قضیه اثبات می شود.

صنعت نفت عمده¬ترین صنعت در ایران می¬باشد. پالایشگاه¬های متعددی در ایران وجود دارد و در طی فرآیندهای مختلف پالایش نفت خام آب زیادی مصرف می¬شود و به دنبال آن حجم عظیمی از پساب تولید می¬گردد. از آن جایی که این پساب حاوی موادی از جمله فنل، هیدروکربن و مواد معدنی می¬باشد به عنوان پساب خطرناک در نظر گرفته می¬شود. اگر این پساب قبل از تصفیه کامل به محیط زیست ریخته شود، اثرات جبران ناپذیری بر روی سلامت انسان و کاهش تنوع زیستی منطقه دارد. روش¬های مختلف فیزیکی، شیمیایی و زیستی برای تصفیه وجود دارد. امروزه تصفیه زیستی توجهات زیادی را به خود جلب کرده است و از میان ارگانیسم¬های مختلف، ریز¬جلبک¬ها با توجه به مزیت¬ها و کاربرد¬های¬ فراوان، از جمله کاهش co2، مصرف o2، قابلیت رشد در همه جا و تولید زیست توده انبوه در مدت زمان کوتاه و استفاده از زیست توده در صنعت¬های مختلف ارجحیت دارد. در اولین گام میبایست جنس¬ها و گونه¬های مقاوم را شناسایی نمود. بهترین روش، جستجوی آن¬ها در محل آلودگی می¬باشد. و با توجه به تحقیقات، سیستم¬های متشکل از بیش از یک گونه در تصفیه پساب کارآمد¬تر می¬باشد. این پژوهش با هدف مطالعه تصفیه زیستی پساب خروجی توسط ریز جلبک¬ها و بررسی بازده سیستم مخلوط جلبک¬های جدا شده از سیستم تصفیه پساب شرکت پالایش نفت در مقایسه با کشت منفرد ریز جلبک سبز کلرلا می¬باشد. بعد از نمونه برداری از شش ایستگاه، خالص سازی در آزمایشگاه و شناسایی، توانایی کشت مخلوط جلبک¬های جدا شده و کلرلا، در دو حالت پساب استریل و غیر استریل بررسی گردید. آزمایشات توانایی ریز جلبک¬ها در تصفیه پساب خروجی را تایید می¬کنند. نتایج به دست آمده از این پژوهش حاکی از آن است که، کشت مخلوط در پساب استریل با توانایی کاهش bod، cod، nbcod، نیترات و فسفات به میزان mg 190، 25/36 %، 69/19 %، 72/66 %،58/85 به ترتیب، و با افزایش نسبت bod/cod: 0/587 کارآمدترین سیستم می¬باشد. همچنین بررسی¬ها در این پژوهش نشان می¬دهد که از میان ریز جلبک¬های جدا شده، سیکلوتلا به عنوان مقاوم¬ترین جنس می¬باشد. بنابراین می¬توان از ریز جلبک¬ها برای افزایش راندمان سیستم تصفیه پساب پالایش شرکت نفت، به عنوان سیستم مکمل، بدون ایجاد تغییرات اساسی و با هزینه کم استفاده نمود.