یک مشخصه ی مهم در مطالعه ی کیفی دستگاه های هامیلتونی انتگرال پذیر، نوع توپولوژی رویه های هم انرژی است. رسم دیاگرام انشعاب یکی از ابزارهای مفیدو موثر برای تعیین نوع این توپولوژی می باشد. ما در فصل اول مقدمات لازم برای ورود به بحث دستگاه های انتگرال پذیر هامیلتونی را مطرح می کنیم. در فصل دوم به بررسی مهم ترین حالت های انتگرال پذیر روی جبرلی (e(3 می پردازیم و در هر حالت نوع توپولوژی رویه های هم انرژی را بدست می آوریم. به طور کلی روش هایی که در این فصل استفاده می کنیم روی جبر لی (so(4 کاربرد ندارد. در فصل های سوم و چهارم روش جدیدی برای مطالعه ی توپولوژی رویه های هم انرژی روی (so(4 را مطرح می کنیم. به طور کلی این پایان نامه بر اساس مقالات مراجع [10] و [12] و[11] می باشد.