توابع گرین آراکلف مرزهای در بینهایت خمینه های هذلولوی سه بعدی برحسب هندسه درون خمینه محاسبه شده است یک خمینه هذلولی سه بعدی کامل ngرا با n مولفه مرزی در بینهایت در نظر گیرید که توسط گروه کلاینی g یکنواختسازی شده و همه مولفه های مرزی، رویه های ریمان فشرده باشند. می توان تابع گرین آراکلف هر مولفه مرزی را برای بخشیابها و نسبت به متریک آن تعریف نمود.

گروه های فوخسی در شاخه های مختلط هندسه و آنالیز مطرح شده و مورد بررسی قرار می گیرند. یکی از مهمترین کاربردهای گروه های فوخسی در رده بندی رویه های ریمان هذلولوی است که در آنالیز مختلط چندمقداری مبحثی بسیار مهم بوده و در رشته های فنی مهندسی نیز کاربرد زیادی دارد. هر زیرگروه psl(2,r) که به طور ناپیوسته ویژه روی h صفحه هذلولوی عمل کند را یک گروه فوخسی گویند و برای هر گروه فوخسی بی تاب مانند ? فضای خارج قسمتی h? یک رویه ریمان است. همچنین کوچکترین زیرمجموعه بسته از مرز h که ? روی آن به طور ناپیوسته ویژه عمل می کند را با ?(?)‎ نمایش داده و آن را مجموعه نقاط حدی ?‎ گویند. در واقع این مجموعه با بستار مجموعه نقاط ثابت عناصر هذلولوی ?‎ برابر است. فصل اول پایان نامه به پیشنیازهای فصل های دوم و سوم اختصاص یافته است. در بخش اول این فصل ضمن تعریف رویه ریمان، مفاهیمی چون هلومورفیک و نگاشت هلومورفیک بین رویه های ریمان را بیان می کنیم. در بخش دوم ابتدا مدل های صفحه هذلولوی یعنی نیم صفحه بالایی h و مدل دیسک پوانکاره ‎ d‎ را معرفی نموده و بعد از آن تبدیلات موبیوس روی این دو مدل را تعریف کرده و آن ها را به سه دسته کلاس بندی می کنیم. این کلاس بندی بر اساس نقطه ثابت و اثر‎‎ آن ها می باشد. در بخش سوم این فصل نیز به تعریف عمل گروه و عمل ناپیوسته و ناپیوسته ویژه روی فضای توپولوژیک می پردازیم و تعاریف معادلی را برای عمل ناپیوسته ویژه بیان می کنیم. تعریف گروه فوخسی و چند نتیجه مهم از جمله عمل ناپیوسته ویژه‏، گروه فوخسی‏، دامنه بنیادی و دامنه دیریکله گروه های فوخسی ‎ و همچنین خلاصه ای از یکنواخت سازی رویه های ریمان نیز در فصل دوم آورده شده است. در فصل سوم مجموعه نقاط حدی گروه های فوخسی و کاربردهای آن را بیان می کنیم. از کاربردهای مجموعه نقاط حدی می توان به تقسیم بندی گروه های فوخسی به نوع اول و نوع دوم، ابتدایی و غیرابتدایی و ... اشاره کرد. بخش آخر که یکی از مهم ترین بخش های این فصل است به بررسی بعد هاسدورف مجموعه نقاط حدی گروه های فوخسی اختصاص یافته است. مراجع این فصل نیز ‎‎ می باشد.

رویه های ریمان، رویه های حقیقی جهت پذیری می باشند که در واقع یک ساختار مختلط روی آنها قرار داده شده است. پوانکاره در سال 1907 یک رده بندی برای رویه های ریمان را مطرح نمود که به قضیه یکنواخت سازی مشهور است. در قضیه یکنواخت سازی رویه های ریمان، نشان داده می شود که هر رویه ریمان همبند ساده، هم ارز همدیس با s2، h2 و یا c ‎ می باشد که اولین نتیجه آن این است که هر رویه ریمان ایزومتریک با یک فضای خارج قسمتی بصورت x/g ‎ است که در آن g یک زیر گروه از ایزومتری های جهت نگهدار x‎ است. همچنین نتیجه ثانویه آن نیز این است که تمام رویه های ریمان بسته، عبارت اند از s2 (کره ریمان)، t2 (چنبره دو بعدی)، و یا جمع مستقیم تعداد متناهی t2، یعنی ?t2? t2...? t2‎در این پایان نامه ضمن جمع آوری و مطالعه مقدماتی رویه های ریمان، و بخصوص رویه های ریمان فشرده، رده بندی رویه های ریمان فشرده و یکنواخت سازی آنها نیز مورد مطالعه قرار خواهند گرفت‎. فصل اول پایان نامه به تعاریف و احکام اولیه اختصاص یافته است. دربخش اول این فصل ضمن ارائه تعریفی از رویه ریمان، مفاهیمی چون هلومرفیک و دوهلومرفیک بودن را نیز بیان می کنیم. در بخش دوم نیز ضمن معرفی تبدیلات موبیوس، آنها را برحسب نقطه ثابت و اثر آنها به سه دسته سهموی، هذلولوی، و بیضوی کلاس بندی می کنیم. و دربخش سوم نیز عمل گروه روی فضای توپولوژیک را تعریف می کنیم.‎ در فصل دوم نیز به بررسی گروه های فوخسی خواهیم پرداخت و عمل های گروهی، مانند عمل آزاد، ناپیوسته، ناپیوسته ویژه مورد بررسی قرار می گیرند و در نهایت قضیه یکنواخت سازی رویه های ریمان مطرح خواهد شد. این قضیه بیان می کند که هر رویه ریمان را می توان بصورت یک فضای خارج قسمتی حاصل از یک فضای پوششی و زیرگروهی از ایزومتری های جهت نگهدار آن بیان نمود. ‎ در فصل سوم نیز که هدف اصلی این پایان نامه می باشد به بررسی رویه های ریمان فشرده خواهیم پرداخت و نشان خواهیم داد که هر رویه ریمان فشرده را می توان از یک چند ضلعی با تعداداضلاع زوج بدست آورد. در این فصل همچنین رویه های ریمان فشرده را رده بندی خواهیم کرد و نشان خواهیم داد که هر رویه فشرده با s2، t2 و p2 ‎و یا جمع همبند(مستقیم) آنها در دو مورد اخیر هومئومرفیک است. نهایتاً نیز رویه های ریمان فشرده را یکنواخت سازی خواهیم نمود. ‎ ?

isom+(h3) گروه ایزومتری های جهت نگهدار h3 یکریخت با گروه تصویری psl(2,c) و همچنین یکریخت با گروه تصویری pgl(2,c) از طریق نگاشت تناظر توسیع پوانکاره می باشد. هر زیرگروه ‎‎مانند ? از isom+(h3) ‎ که به طور ناپیوسته ویژه روی h3 عمل می کند، یک گروه کلاینی نامیده می شود. برای هر گروه کلاینی بی تاب مانند ?، اگر ?(?) را بستار مجموعه نقاط ثابت عناصر اریب ? در نظر بگیریم، آنگاه ?(?) کوچکترین زیرمجموعه بسته ناتهی ?-پایا است و همچنین ناحیه ناپیوستگی ?(?)=?c?(?) نیز بزرگترین زیرمجموعه بازی است که ? روی آن به طور ناپیوسته ویژه عمل می کند. فضای خارج قسمتی ?(?)/? مجهز به ساختار مختلط القا شده از ?(?) است به طوری که نگاشت تصویر ?(?) به ?(?)/? هلومرفیک است. بنابراین مولفه های همبندی ?(?)/? رویه های ریمان هستند. در سال 1964‎ الفرز قضیه ای بیان کرد به این صورت که اگر ? یک گروه کلاینی متناهی مولد باشد، آنگاه ?(?)/? اجتماع متناهی از رویه های ریمان است که هر یک از آن ها از نوع متناهی است به عبارتی هر یک از آن ها با حذف تعداد متناهی نقطه از یک رویه ریمان فشرده به دست آمده است. این قضیه به قضیه تناهی الفرز معروف است. او همچنین در قالب مقاله ای برهانی برای این قضیه ارائه داد‎. با این وجود، الفرز در برهان خود حالتی از حکم را که مربوط به کره های سه سوراخه می شد، از قلم انداخته بود. این نقص در سال 1967 توسط گرینبرگ شد. در این پایان نامه قصد داریم قضیه تناهی الفرز را به روش ساده تری از مقاله اصلی اثبات کنیم. در فصل اول پایان نامه به معرفی هندسه و مدل های هذلولوی و همچنین محاسبه ژئودزی ها و در نهایت ایزومتری های مدل های دو و سه بعدی هذلولوی پرداخته و همچنین گروه ایزومتری های جهت نگهدار h2 و h3 دقیقاً محاسبه می شود. فصل دوم نیز به معرفی و بررسی عمل گروه بر یک خمینه و تعاریف مرتبط و زیرگروه هایی از ایزومتری های جهت نگهدار h2 و h3 که به طور ناپیوسته ویژه روی این دو فضا عمل می کنند، اختصاص یافته است. در این فصل همچنین به تعریف فضای مداری و بررسی شرایط هاوسدورف بودن و ارتباط آن با نوع عمل گروه پرداخته و پس از تعریف خمینه های هذلولوی، نشان می دهیم فضای خارج قسمتی h3 با این گروه ها مجهز به ساختار خمینه هذلولوی است. همچنین با تعریف مجموعه نقاط حدی و ناحیه ناپیوستگی به دسته بندی این گروه ها به نوع اول و دوم پرداخته و به مطالعه و اثبات خاصیت هایی از این دو ناحیه می پردازیم. در انتهای این فصل نیز مثال هایی از ‎3-‎خمینه های هذلولوی بیان می کنیم که توسط گروه های کلاینی یکنواخت سازی می شوند. تعریف اُربیفلد و توضیح ویژگی های مختصر آن همچنین بیان قضیه تناهی الفرز و سپس اثبات آن در پنج مرحله، موضوع فصل سوم است. در مرحله اول اثبات نشان می دهیم که کافیست قضیه را برای آن دسته از گروه های کلاینی ثابت کنیم که متناهی مولد بوده و مولفه های همبندی فضای خارج قسمتی ?(?)/? انقباض پذیر می باشند. در مرحله دوم نیز قضیه را برای حالت خاصی از گروه های کلاینی ثابت می کنیم که در آن ? زیرگروهی از isom+(h2) و از نوع اول است. در مرحله سوم و چهارم نیز نشان می دهیم برای یک گروه کلاینی متناهی مولد مانند ? اگر ?0 مولفه ای از ?(?) و ?0 پایاساز متناظر آن باشد، ?0/?0 هم ارز همدیس با h2/?0 است که در آن ?0 زیرگروهی از psl(2,r) بوده و از نوع اول است. در آخرین مرحله نیز با استفاده از یک استدلال خاص نشان می دهیم تمامی مولفه های s(?)=?(?)/? از نوع همدیس متناهی بوده و همچنین تعداد آن ها نیز متناهی می باشد. ?

رده بندی خمینه ها همواره یکی از موضوعات مورد توجه ریاضیدانان بوده است. از رده بندی های مطرح میان ریاضیدانان رده بندی بر حسب فضای پوششی جهانی، انحنای برشی و یا از دید فضای مدل است. بنا به قضیه یکنواخت سازی فضای پوششی جهانی هر رویه (2-خمینه) تنها صفحه اقلیدسی، صفحه هذلولوی و یا کره ریمان می باشد. مشابه قضیه یکنواخت سازی برای 3-خمینه ها، هشت فضای مدل معرفی می شود که به حدس هندسی سازی ترستن معروف است. همچنین منظور از یکنواخت سازی یک خمینه سه بعدی بیان آن به صورت فضای خارج قسمتی یکی از هشت فضای مدل معرفی شده در حدس ترستن به روی یک گروه از ایزومتری های آن فضای مدل می باشد. در این پایان نامه نخست به معرفی و بررسی حدس ترستن (رده بندی ترستن) پرداخته و سپس صرفا حالت هندسه هذلولوی را بررسی نموده و نشان می دهیم هر خمینه هذلولوی سه بعدی کامل توسط زیرگروه گسسته ای از ایزومتری های جهت نگهدار فضای هذلولوی 3-بعدی معروف به گروه کلاینی یکنواخت سازی می شود.

هدف اصلی این پایان نامه‏، بیان و اثبات قضیه ی مهمی در مورد رده بندی (با تقریب یکریختی موضعی) گروه های لی همبند است که بر یک خمینه ی لورنتزی فشرده به صورت طولپایی و موضعاً وفادار عمل می کنند. بنابر این قضیه‏، گروه لی همبند g بر‎‎‎ یک خمینه ی لورنتزی فشرده به صورت طولپایی و موضعاً وفادار عمل می کند اگر و تنها اگر ‎پوشش جهانی g یکریخت با l*k*rd ‎‎ باشد‎ که در آن‏، kفشرده و نیم ساده (یا بدیهی)‏، d?0و‎l یکی‎ از گروه های زیر است: الف) sl(2,r) ب) aff(r) (ج) یک گروه هایزنبرگ hn (د)‎‎ ضرب نیم-مستقیم مناسبی ازr ‎‎ با‎ hn، h*r ‎(ی) گروه بدیهی {e} علاوه بر نتایج به دست آمده ی دیگر در این پایان نامه‏، ثابت می شود که خانواده ی متشکل از ضرب های نیم-مستقیم r با‎ hn مذکور‎ در قسمت (د) شماراست. همچنین برای هر یک از گروه های لی ‎‎از(الف) تا (د)‏، مثال هایی از خمینه های لورنتزی فشرده ارائه می شود که گروه مذکور بر آن خمینه به صورت طولپایی و موضعاً وفادار عمل می کند.

در این پایان نامه مسئله ی رده بندی گروه های لی حقیقی همبند و همبند ساده ی g که یک عمل به صورت طولپایی، ناسره ی مداری و موضعاً وفادار بر یک خمینه ی لورنتزی همبند می پذیرد، مطالعه می شود. ثابت شده است که سه گردایه از گروه ها چنان وجود دارند که g چنین عملی را می پذیرد اگر و تنها اگر g در یکی از این سه گردایه قرار بگیرد ([4] را ببینید). همچنین نشان داده می شود که گردایه ی دوم شامل یک گردایه ی کوچک از گروه های به طور موثر توصیف شده است که در اجتماعی از گردایه های اول و سوم واقع می شود. به بیان دقیق، هدف ما در این پایان نامه اثبات این قضیه است: فرض کنید پوچ رادیکال n از گروه لی g همبند ساده، h یک زیرگروه نافشرده ی همبند بسته ی g و عمل متعدی استاندارد g بر g?h موضعاً وفادار و حافظ یک متریک لورنتزی باشد و برای هر عدد صحیح n?2، so(n,1) و so(n,2) جمعوند مستقیمی از g نباشند. در این صورت حداقل یکی از گزاره های زیر صحیح است: (?) یک خمینه ی لورنتزی همبند وجود دارد که g بر آن به صورت ناسره ی مداری، آزاد و طولپایی عمل می کند. (?) یک عمل موضعاً وفادار از g_0?v به صورت طولپایی بر یک خمینه ی لورنتزی همبند وجود دارد که یک زیرگروه همبند بسته ی نافشرده از v یک نقطه را ثابت نگه می دارد. رده بندی موضوعی ams(????).??c??، ???h ??. واژه های کلیدی: خمینه لورنتزی، طولپایی، گروه تبدیلات.

بعد هاوسدورف گروه‍های کلاینی نقش بسیار اساسی در بررسی این گروه‍ها و زیر گروه های خاصی از آن ها از جمله گروه های شاتکی و شاتکی کلاسیک ایفا می نماید. منظور از بعد هاوسدورف یک گروه کلاینی در واقع بعد هاوسدورف مجموعه نقاط حدی آن گروه می باشد. با استفاده از بعد هاوسدورف گروه های شاتکی می توان این گروه ها را رده بندی نمود. در این پایان نامه ابتدا رویه های ریمان و خمینه های هذلولوی 3- بعدی، گروه های کلاینی و گروه های شاتکی و شاتکی کلاسیک معرفی خواهند شد و بعد از آن به کاربرد این گروه ها در یکنواخت سازی رویه های ریمان به عنوان مرز در بی نهایت خمینه های هذلولوی 3- بعدی خواهیم پرداخت و سپس بعد هاوسدورف گروه های کلاینی، شاتکی و شاتکی کلاسیک مورد بررسی قرار خواهند گرفت. پیتر دویل نشان داد یک کران بالای جهانی روی بعد هاوسدورف مجموعه های حدی گروه های شاتکی کلاسیک وجود دارد. هدف اصلی این پایان نامه آن است که نشان دهد یک عدد جهانی مثبت وجود دارد به قسمی که هر گروه کلاینی ناابتدایی تولید شده توسط دو عنصر با بعد هاوسدورف کوچکتر از آت عدد مثبت یک گروه شاتکی کلاسیک است.

یده ?? چ مانند ?? فضای خارج قسمت ?? صورت ی ?? توان به ???? دانیم که هر رویه ریمان را م ???? سازی م ?? نواخت ?? از قضیه ی زیر گروه گسسته ?? بوده و h یا فضای هذلولوی ? c ?? ، فضای اقلیدس s کره ? s~ که در آن ?? طوری ?? نوشتبه s~=?? دانیم که هر رویه ریمان فشرده ???? کند همچنین م ???? را القا م : s~ ??! s~=?? است که پوشش isom +(s~) از h که روی ? ?? است. برای هر گروه h?=?? صورت ?? به ?? تر از ? ساختار هذلولوی دارد یعن ?? با گونای بزرگ شود. ???? بندی م ???? موزائی p توسط ?? تحت اعمال عناصر h را داریم که ? p مانند ?? کند چند ضلع ???? عمل م گاه گروه ?? باشد آن ?? هذلولوی با اضلاع جفت کننده صادق در شرایط معین ?? چند ضلع p ر اگر ?? عبارت دی ?? به باشد. همچنین بنا به قضیه ???? م ?? تحت h بندی ? ???? موزائی p شود و ???? کننده اضلاع تولید م ?? توسط جفت ?? ???? های شات ?? موسوم به گروه ?? های کلاین ?? تواند توسط گروه ???? هر رویه ریمان بسته م kobe retrosection سازی شود. ?? نواخت ?? ی سازی، دامنه

هدف اصلی این پایان نامه، مطالعه ی عمل های حافظ ساختار هندسی یک گروه لی با استفاده از عمل های یک زیرگروه نرمال بسته آن است. فرض کنید g یک گروه لی همبند و n یک زیرگروه بسته از g و m یک خمینه ی هموار باشد که n بر m به طور هموار عمل می کند. فرآیندی به نام "استقرا‎``‎ وجود دارد که از یک عمل n بر مجموعه ی m، یک عمل g بر خمینه ی خارج قسمتی g imes_{n} m ‎نتیجه می شود. در این پایان نامه، با استفاده از این نوع روند استقرایی، نشان داده می شود که اگر گروه لی g دارای زیرگروهی نرمال و یکریخت با mathbb{r} یا mathbb{r} imes mathbb{t} باشد، آن گاه g عملی وفادار به صورت طولپایی های یک خمینه ی لورنتزی همبند می پذیرد. همچنین ثابت می شود که اگر مرکز یک گروه لی‎(‎ که یک زیرگروه نرمال بسته است) نافشرده باشد این گروه، عملی آزاد و مدار ناسره به صورت طولپایی های یک خمینه ی لورنتزی همبند می پذیرد. مثالی از یک گروه لی ارائه می شود که مرکزش فشرده است و عملی مدار ناسره و موضعا وفادار به صورت طولپایی های یک خمینه ی لورنتزی همبند نمی پذیرد.

هدف اصلی این پایان نامه‏، مطالعه ی گروه های لی است که عملی موضعا وفادار و مدار ناسره به صورت طولپایی های یک خمینه لورنتزی همبند می پذیرند. گردایه ی همه ی گروه های لی همبندی که رادیکال پوچ همبند ساده دارند و چنین عملی را می پذیرند‏، توصیف شده است. این توصیف چنان انجام شده است که با ارایه ی نمایش معقولی از یک گروه لی می توان مشخص کرد که آیا این گروه در گردایه ی مذکور واقع است یا نیست. به عبارت دقیق تر‏، ثابت می‎‎شود که یک گروه لی ‎ gبا رادیکال پوچ همبند ساده‏، عملی موضعا وفادار و مدار ناسره به صورت طولپایی های یک خمینه لورنتزی همبند می پذیرد اگر و تنها اگر لااقل یکی از پنج گزاره ی زیر صحیح باشد: (1) مرکز‎ gنافشرده است. (2) تصویرg ‎ تحت نمایش الحاقی بسته نیست. (3) برای یک عدد طبیعی ‎ nبزرگتر از یک‏، ‎so(n,1)یا so(n,2)جمعوند‎ مستقیمی از جبرلی ‎ gاست. (4) زیرفضای ‎- ad(g)ناوردایی مانند v_1‎ از ‎ z(n)وجود دارد که ad_v_1(l)فشرده است (‎ lیک عامل لوی ‎ gاست). (5) عدد طبیعی ‎ nبزرگتر از 2‎ و ‎ایده ال ‎ l_0‎‎از ‎ lو یک زیرفضای ‎- ad(g)ناوردای v_1‎ از ‎ z(n) ‎ وجود دارند به طوری که نمایش الحاقی l_0 در v_1‎ یکریخت با نمایش استاندارد ‎ so(n-1,1) ‎در r^(n×1)‎‎ است.

هدف اصلی این پایان نامه، مطالعه ی مساله ی رده بندی گروه های لی حقیقی همبندی است که عملی موضعاً وفادار و مدار ناسره به صورت طولپایی های یک خمینه لورنتزی همبند می پذیرند. ثابت شده است سه گردایه از گروه ها وجود دارد به طوری که گروه لی همبندg چنین عملی می پذیرد اگر و تنها اگر gدر یکی از این سه گردایه باشد. در این پایان نامه این سه گردایه مورد بررسی قرار گرفته اند و ثابت شده است که اگر گروه لی همبند g عملی موضعاً وفادار و مدار ناسره به صورت طولپایی های یک خمینه ی لورنتزی همبند بپذیرد آنگاه، حداقل یکی از گزاره های زیر صحیح است: 1‎. زیرگروه بسته، همبند و نافشرده ی h از g وجود دارد چنانکه عمل متعدی استاندارد g بر g/h موضعاً وفادار و حافظ یک متریک لورنتزی است. 2‎. خمینه ی لورنتزی همبند m وجود دارد چنانکه g بر m به صورت طولپایی و موضعاً وفادارعمل می کند و پایا ساز عمل القایی مرکز رادیکال پوچg در یک نقطه، نافشرده است.

فرض کنید ?:x ?y نگاشت پیوسته ی پوشا بین فضاهای تیخونوف باشد. نگاشت ?، با عمل ترکیب یک همریختی یک به یک بین حلقه های توابع پیوسته حقیقی مقدار متناظر (c(x و (c(y، به صورت (c(y) ? c(x g ?go? القا می کند. به وسیله ی این همریختی (c(y را می توان به عنوان یک زیرحلقه از (c(x در نظر گرفت. در این پایان نامه ویژگی های متناهی توسیع حلقه (c(y) ?c(x را در رابطه با ویژگی های توپولوژیکی نگاشت ?:x ?y مورد بررسی قرار می دهیم. نتیجه ی اصلی این است که نشان می دهیم برای یک زیرمجموعه ی فشرده از r^n مانند x، توسیع (c(y) ?c(x انتگرالی است اگر و فقط اگر x به یک اجتماع متناهی از زیرمجموعه های بسته تجزیه شود، به طوری که ? روی هر یک از آن ها یک به یک باشد.

هر رویه ریمان یک خمینه ‎1 ‎بعدی مختلط و یا یک ‎2 ‎خمینه حقیقی جهت پذیر است. قضیه یکنواخت سازی بیان می کند که هر رویه ریمان همبند ساده با صفحه مختلط، دیسک واحد باز پوانکاره(صفحه هذلولوی) یا کره ریمان هم ارز همدیس می باشد. بنابراین هر رویه ریمان ایزومتریک با فضای خارج قسمتی به صورت ‎xg‎ می باشد که در آن x فضای صفحه مختلط، دیسک واحد باز پوانکاره یا کره ریمان بوده و g ‎ نیز یک زیرگروه از گروه ایزومتری های جهت نگهدار ‎ x ‎ است که به طور ناپیوسته ویژه روی x ‎ عمل می کند. در این پایان نامه قضیه یکنواخت سازی را از طریق ساخت یک تابع همساز با اصل دیریکله ثابت می کنیم.

هر زیر گروه گسسته از ایزومتری های جهت نگه دار نیم فضای بالا (یا مدل گوی واحد) را یک گروه کلاینی می نامند. در این پایان نامه قصد داریم ضمن پرداختن به جنبه های مختلف گروه های کلاینی، مجموعه حدی و بعد هاوسدورف این گروه ها را به طور دقیق تر بررسی گنیم.

هر زیرگروه گسسته از psl(۲;c) ، گروه کلاینی نامیده می شود. ناحیه ناپیوستگی ω(

در این پایان نامه، رده بندی آن گروه های ? مطالعه می شوند که بصورت سره ناپیوسته و مستوی به r^3 عمل می کنند و دامنه بنیادی فشرده دارند. نشان داده می شود که چنین گروه ? شامل یک زیرگروه حلپذیر با اندیس متناهی است که حدس میلنور را در بعد سه اثبات می کند. مشخصه ای از گروه هایی که چنین عملی را می پذیرند مطالعه شده است. بعلاوه ثابت می شود که هر یکریختی بین گروه های کریستالی مستوی حل پذیر مجازی به وسیله تزویج با یک خودریختی چند جمله ای فضای مستوی القا می شود. کلمات کلیدی: گروه کریستالی مستوی، عمل سره ناپیوسته

چکیده ندارد.