دراین پایان نامه ابتدا به بیان تعاریف و مفاهیم مقدماتی از معادلات دیفرانسیل کسری می پردازیم .با توجه به اهمیت معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری در بسیاری از مسائل ریاضیات کاربردی ، فیزیک و مهندسی که در سال های اخیر مورد توجه فیزیک دانان ، شیمی دانان و مهندسان قرار گرفته است . به دلیل این اهمیت ، در این پایان نامه چگونگی جواب های دستگاه معادلات دیفرانسیل عادی از مرتبه کسری و نیز مسائل مقدار اولیه و مرزی روی آن مورد بحث و بررسی قرار می گیرد . بدین ترتیب که ابتدا قضایای وجود ویکتایی برای دستگاه معادلات با ضرایب ثابت و سپس برای دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری غیر خطی از مرتبه کسری بیان و فرم جواب آنها را با استفاده از مقادیر ویژه برای دستگاه با ضرایب ثابت و تابع گرین کسری برای دستگاه غیر خطی را معرفی می کنیم . و همچنین مسائل مقدار اولیه و مرزی روی آنها را مورد بررسی قرار می دهیم .

حساب کسری در بسیاری از مسایل علوم پایه از جمله فیزیک و شیمی و ...و علوم مهندسی ماند مکانیک و الکترونیک کاربرد فراوان دارد در این پایان نامه هدف یافتن شرایطی است که بر اساس آن می توان وجود و یکتایی جواب را برای مسایل مقدار مرزی - اولیه از مرتبه کسری یا مسایل غیر موضعی از مرتبه کسری تعیین کرددر اینجا سعی می شود مسئله به یک عملگر نقطه ثابت تبدیل شود.

یک مشخصه ی مهم در مطالعه ی کیفی دستگاه های هامیلتونی انتگرال پذیر، نوع توپولوژی رویه های هم انرژی است. رسم دیاگرام انشعاب یکی از ابزارهای مفیدو موثر برای تعیین نوع این توپولوژی می باشد. ما در فصل اول مقدمات لازم برای ورود به بحث دستگاه های انتگرال پذیر هامیلتونی را مطرح می کنیم. در فصل دوم به بررسی مهم ترین حالت های انتگرال پذیر روی جبرلی (e(3 می پردازیم و در هر حالت نوع توپولوژی رویه های هم انرژی را بدست می آوریم. به طور کلی روش هایی که در این فصل استفاده می کنیم روی جبر لی (so(4 کاربرد ندارد. در فصل های سوم و چهارم روش جدیدی برای مطالعه ی توپولوژی رویه های هم انرژی روی (so(4 را مطرح می کنیم. به طور کلی این پایان نامه بر اساس مقالات مراجع [10] و [12] و[11] می باشد.

در این پایان نامه ابتدا شرایط ضروری را برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با شرایط مرزی غیر موضعی بدست می آوریم و با توجه به شرایط ضروری بدست آمده روی جواب معادله دیفرانسیل مشخص می کنیم که در مسئله داده شده پدیده لایه مرزی تشکیل مشود یا نه؟ و پس از آن بسط های مجانبی جواب را در حالتی که لایه مرزی تشکیل می شود بدست می آوریم. این کار را برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با شرایط مرزی غیر موضعی انجام می دهیم.علاوه براین جواب مجانبی مسایل لایه مرزی را برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با شرایط مرزی موضعی و معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب غیر ثابت و نقاط غیر بازگشتی بدست می آوریمدر آخر جواب مجانبی را به دو روش مختلف در مسایل لایه مرزی تشدید برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با نقاط بازگشتی بدست می آوریم.

این پایان نامه شامل سه فصل است. در فصل اول روش های معمولی وکلاسیک حل مسائل مقداری مرزی شامل معا دلات دیفرانسیل پاره ای را به طور خلاصه مرور می کنیم. سپس در فصل دوم وسوم دو روش اساسی را برای حل مسائل مقداری مرزی مرتبه دوم معرفی می کنیم که به ترتیب عبارتنداز روش پتانسیل ها وروش آنالیز مختلط. روش پتانسیل ها، مسئله مقدار مرزی مرتبه دوم را به یک معادله انتگرال تبدیل می کند و با بکارگیری پتانسیل های مناسب، جوا بی به فرم عبارت انتگرالی ارائه می کند. در روش آنالیز مختلط ابتدا با استفاده از قضیه نمایش کوشی- پمپیه تابع مختلطw را به فرم نمایش انتگرالی و مشتق های نسبی آن نسبت به متغیر مختلط z ومزدوج آن z ? می نویسیم. سپس با استفاده از این نمایش، جواب مسا ئل مقداری مرزی را تحت یک شرط حل پذیری به صورت جواب اسا س معادله لاپلاس می نویسیم.

در این پایان نامه ابتدا در فصل اول به بیان مفاهیم اساسی و تعاریف مقدماتی مسائل مقدار مرزی و نحوه رفع تکینی در معادلات انتگرال غیر عادی پرداخته، سپس در فصل دوم مسائل مقدار مرزی شامل معادله کوشی-ریمانهمگن با شرایط مرزی موضعی (دیریکله و نویمان) را بررسی می کنیم و جواب این مسائل را تحت یک شرط حل پذیری ارایه می کنیم. اساس روش بر پایه قضیه نمایشی کوشی-پمپیه برای توابع تحلیلی در آنالیز مختلط می باشد. در فصل سوم معادله کوشی ریمان را با شرایط غیر موضعی در نظر می گیریم که این کار ابتدا با محاسبه الحاقی معادله کوشی-ریمان و جواب اساسی و به دست آوردن شرط های ضروری روی جواب معادله دیفرانسیل کوشی-ریمان انجام می یرد. سپس تکینی های موجود در عبارت های انتگرال جواب معادله کوشی-ریمان را منظم سازی کرده، در نهایت شرایط کافی برای این که مسئله مقدار مرزی شامل معادله کوشی-ریمان با شرایط مرزی غیر موضعی خوش طرح باشد را ارایه می کنیم.

در این پایان نامه مسائل مقدار مرزی-اولیه شامل معادلات دیفرانسیل پاره ای مرتبه اول و دوم ناهمگن را مورد مطاله قرار می دهیم. در ابتدا به مفاهیم اساسی و تعاریف اولیه پرداخته و سپس مسئله مقدار مرزی-اولیه شامل معادله موج ناهمگن با شرایط مرزی غیر کلاسیک که در یک حالت مقادیر ویژه مسئله اسپکترال حاصل تکراری و در حالت بعدی مقادیر ویژه مسئله اسپکترال مختلط است، می پردازیم و در آخر مسائل مقدار مرزی، شامل معادلات دیفرانسیل پاره ای مرتبه اول و دوم ناهمگن را بررسی می کنیم که این روش بر اساس روش های آنالیز مختلط می باشد. ابتدا قضیه فرم نمایشی کوشی-پمپیه را برای توابع تحلیلی آورده و سپس با استفاده از این قضیه، جواب های مسائل مقدار مرزی دیریکله، نویمان و شوارتز را با شرایط مرزی موضعی به دست می آوریم. در نهایت جواب های معادله دیفرانسیل لاپلاس ناهمگن(پواسون) با شرایط مرزی کلاسیک، دیریکله و نویمان را با یک شرط حل پذیری به دست می آوریم.

در این رساله، ابتدا به مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط مرزی غیرموضعی و عمومی پرداخته و شرایط خوش طرح بودن و خودالحاق بودن و یا نبودن عملگر دیفرانسیل مربوطه را نشان می دهیم و در صورت خودالحاق نبودن، شرایط کافی ارائه می شود تا مساله داده شده خودالحاق باشد‎.‎ در ادامه، به مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل جزئی با شرایط مرزی غیرموضعی پرداخته و در دو فصل جداگانه به مسائل مقدار مرزی مستقیم و معکوس پرداخته می شود. در قسمت مسائل مقدار مرزی مستقیم، معادله کوشی-ریمان را در نواحی مختلف با شرایط مرزی غیرموضعی درنظر گرفته و با استفاده از شرایط ضروری به دست آمده و جواب اساسی معادله الحاقی، جواب تحلیلی مساله را در قالب عبارت های انتگرالی که در هسته های آن ها تکینی ضعیف وجود دارد، محاسبه می کنیم. سپس به یک مساله مقدار مرزی شامل پارامتر پرداخته و جواب آن را به وسیله شرط های ضروری در قالب انتگرال هایی که در ضرایب آن ها پارامتر ‎lambda‎ وجود دارد ارائه می کنیم تا با استفاده از نظریه الترناتیو فردهلم، برحسب مقادیر ویژه، شرایط بود و نبود جواب ها و یگانگی آن ها مشخص شود‎.‎ در پایان، به دو مساله مقدار مرزی معکوس پرداخته که یکی از مساله های معکوس از نوع تیخانوف-لاورنتیو بوده و طرف راست یکی از شرایط مرزی مساله، علاوه بر تابع مجهول، به حالت مجهول می باشد. مجهول این مساله را نیز با تبدیل به معادلات انتگرال نوع دوم فردهلم، به صورت تحلیلی با هسته های دارای تکینی ضعیف ارائه می کنیم. مساله دوم معکوس از نوع استفان بوده و در واقع، علاوه بر تابع مجهول، مرز ناحیه مربوطه نیز مجهول می باشد. این مساله نیز در دو حالت جداگانه برحسب مرزهای ناحیه و معادلات داده شده حل می شود علاوه بر خود جواب، مرزهای مجهول به صورت عبارت های تحلیلی از داده های مساله معین می شوند.

این ‏رساله، به بحث در مورد معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری و برخی تعمیم های آن ها می پردازد. ابتدا چند قضیه وجود و یگانگی در این راستا به اثبات می‏ رسد. این قضایا مربوط به مسائل مقدار مرزی و اولیه شامل معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری با عملگر کاپوتو می باشند. سپس برای برخی معادلات خطی با ضرایب ثابت توابع پایا تعیین شده و فضای جواب این معادلات مشخص می شود سپس جواب عمومی و خصوصی این معادلات تعیین می شود و این حالت برای معادلات با مرتبه های حقیقی تعمیم داده می شود و در نهایت معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری بر روی فضای جدیدی به نام بازه های زمانی گستر‏ش و تعمیم داده می شود و قضایایی در مورد وجود جواب روی این فضا برای معادلات دیفرانسیل مذکور ارائه می شود.

مسائل اغتشاشی غیرعادی یک فضای وسیع و غنی در حال پیشرفت از کشفیات برای ریاضیات و فیزیک و سایر تحقیقات است. روشهای مختلفی وجود دارد که برای حل این مسائل بکار می رود. اساس بسیاری از این اینها شامل بسط های مجانبی است. روشهایی که در این پایان نامه آورده شده عبارتند از بسط مجانبی سازگارشده‏، تقریب به روش ‎‎$ wkb $‎‎‏ ‏، روش مقیاس چندگانه‏، نرمالسازی مجدد‏، روش پوانکاره - لیندستت‏ ‎ltrfootnote{poincare-lindstedt}‎ و روش میانگین گیری است.‎‎ هدف اصلی ‏پایان نامه بیان یک دید کلی و جامع از مسائل اغتشاشی و توضیح روشهای ریاضی برای بدست آوردن جواب تحلیلی برای مسائل اغتشاشی غیرعادی است که بطور دقیق قابل حل نیستند.

در این پایان نامه ابتدا مفاهیم مشتق و انتگرال کسری به ترتیب از نوع ریمان-لیوویل و کاپوتو ارایه می گردد و خاصیت های مشتق ها و انتگرال های کسری بیان و اثبات می شوند. سپس در ادامه نظریه وجود جواب های مثبت دسته خاصی از معادلات دیفرانسیل کسری که شامل مشتقات چپ و راست ریمان-لیوویل می باشند را با استفاده از مباحث فضاهای متریک مخروطی و قضایای نقطه ثابت ارایه می کنیم. در نهایت وجود جواب های مثبت دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری را با استفاده از نظریه فضاهای باناخ مرتب شده و مخروط نرمال ارایه می کنیم.

این پایان نامه، مشتمل بر چهار فصل است‎.‎ در فصل اول به تعاریف و مفاهیم اولیه می پردازیم و یک دسته بندی کلی از انواع معادلات دیفرانیسل پاره ای و شرایط مرزی ارائه خواهیم داد. در فصل دوم انواع روش های عددی از جمله روش ریلی ریت‎ز‎، روش گالرکین و روش کانتوروویچ‏ که بر پایه ی المان های محدود هستند‎ را‏‎ برای حل معادلات دیفرانیسل پاره ای بکار می بریم. سپس در فصل سوم روش پتانسیل ها را برای حل مسائل مقدار مرزی مرتبه دوم معرفی کرده و جواب دو مسئله دیریکله و نویمان را با استفاده از پتانسیل های مناسب به فرم انتگرالی ‎‎بیان می کنیم‎‎‎. در فصل چهارم به روش تبدیل معادلات دیفرانسیل پاره ای غیر خطی به معادلات پاره ای خطی پرداخته و نهایتا معادله برگر را، با استفاده از دو روش تبدیل ‎‎هاپ - کول و روش المان های محدود گالرکین، با پایه های بی اسپلاین حل خواهیم کرد

این پایان نامه شامل سه فصل می باشد در فصل اول مفاهیم و تعاریف مقدماتی مورد نیاز در فصل های آتی را بیان می نماییم و سپس به معرفی تعاریف و مفاهیم اولیه حساب تغییرات که منشاء این نظریه می باشند می پردازیم و معادله دیفرانسیل اویلر-لاگرانژ را با دو روش بدست می آوریم و کاربردهای آنرا بوسیله چند مثال از جمله خم کوتاهترین زمانم ذکر می نماییم در فصل دوم روش های تقریبی بدست آمده از حساب تغییرات که شامل روش های ریلی-ریتز، گالرکین وکانتروویچ می باشند را، به کمک قضیه ای که جواب های یک مساله مقدارز مرزی را با اکستر مال های یک تابعک متناظر میکند بررسی می نماییم بالاخره در فصل سوم با درنظر گرفتن یک معادله دیفرانسیل تکانشی با شرط مرزی مرکب وبیان شرطpalais-smaleرابطه بین جواب های ضعیف وکلاسیک را بررسی نموده و وجود 2kجواب متمایز را برای آن تضمین می نماییم

‎‎‎‎بحث و مطالعه ی ‎‎مشتق و انتگرال گیری کسری حدود 300‎ ‎ سال پیش وقتی شروع شد که لایب نیتز این سوال را مطرح کرد اگر در فرمول مشتق معمولی ‎‎‎n=1/2‎ باشد چه ‎‎إتفاقی می ‎‎‎اُفتد. در آن زمان آبل و اویلر و... پاسخ هایی به این سوال دادند ولی این مفاهیم و مباحث هم چنان بدون توجه‎‎ باقی ماندند تا اینکه کاربردهای محاسبات کسری در فیزیک و مهندسی ظاهر شد به این صورت که وقتی برای پدیده های فیزیکی و مهندسی مدل ریاضی ساختند به معادلات دیفرانسیلی برخوردند که تابع مجهول در آن ها مشتق کسری پیدا کرد. دراین پایان نامه, ابتدا با استفاده از فرمول های انتگرال چندگانه پیوسته‏, انتگرال ‏و مشتق کسری به مفهوم ریمان-لیوویل و سپس خاصیت های این نوع از انتگرال و مشتق در طی چند لم و قضیه بحث می شود.‎‎ در ادامه, مسئله مقدار اولیه برای یک دستگاه از معادلات دیفرانسیل کسری بررسی می شود که هدف این پایان نامه اثبات تعدادی قضایای وجود و یگانگی جواب برای تعدادی معادلات دیفرانسیل کسری غیرخطی و سپس بررسی وجود و یگانگی جواب برای یک دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری می باشد. در پایان کاربرد های ا‏ین گونه معادلات را در علوم و مهندسی بیان می کنیم.

در این پایان‎‎نامه، روش تریفتز برای حل مسائل مقدار مرزی بیضوی و بطور خاص برای معادلات لاپلاس و پواسن بیان و مورد بررسی قرار می گیرد. این روش بر پایه استفاده از نوعی توابع بنا شده است که برای اولین بار توسط تریفتز در سال ‎1926‎ مطرح گردید. این توابع که t-تام نامیده می شوند به گونه ای می باشند که اگر عملگر لاپلاس بر آنها اثر کند، حاصل برابر صفر خواهد بود.در ادامه، روش تریفتز برای حل انواع معادلات لاپلاس و پواسن دو بعدی و سه بعدی بکار برده شده است. برای حل معادله پواسن با این روش، جمله غیر همگن بوسیله یک چند جمله ای حداکثر از درجه ‎5‎ تقریب زده می شود. نکته قابل توجه در بکارگیری این روش این است که همواره باید مراقب بود تا ماتریس های بوجود آمده در الگوریتم ها، غیر منفرد باشند.

از لحاظ توسعه روش های حل معادلات دیفرانسیل پاره ای در قرن نوزدهم میلادی با روش جدا سازی متغیرها برای معادلات خطی بوسیله دالامبر،اویلر و سپس کارهای فوریه برای معادله حرارت ادامه یافت که به دنبال آن همگرایی سری های فوریه و انتگرال های فوریه مطرح شد و سپس تابع های هارمونیک حقیقی دو بعدی و توابع مختلط از یک متغیر مختلط در کار های ریمان در سال ‎1851‎ گسترش یافت و بالاخره گسترش بیشتر آن ها توسط نویمان و شوارتز و کرستوفل در سال ‎1870‎ انجام یافت. استفاده از روش تابع گرین ، برای حل مسائل مقدار مرزی به وسیله گرین در سال ‎1833‎ برای معادله لاپلاس با یک شرط مرزی دیریکله انجام شد ، سرانجام ، مسائل مقدار مرزی کلاسیک با شرایط مرزی دیریکله و نویمان برای معادله لاپلاس در ناحیه دو بعدی ‎$omegasubseteqbbb r^{2}$‎ باشرایط مرزی مربوطه ،توسط ریمان و حل پذیری آن ها به وسیله انتگرال دیریکله و کار اصلی پوانکاره ، در مورد وجود و یگانگی جواب معادله لاپلاس در اواخر قرن نوزدهم انجام شد. ادامه توسعه نظریه و روش های حل معادلات پاره ای در ابتدای قرن بیستم، با برنامه های هیلبرت و معرفی ‎23‎ مساله در کنگره سال ‎1900‎ پاریس شروع شد. از طرفی در سال ‎1974‎ اولین کنفرانس بین المللی حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری در دانشگاه نیوهاون برگزار شد که کتابچه کنفرانس توسط اشپرینگر به چاپ رسید. در سال ‎1984‎ دومین کنفرانس بین المللی حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری در شهر گلاسکو توسط دانشگاه استراچکلید برگزار شد.در این کنفرانس سوالات جذابی مطرح شد که تا کنون جوابی برای برخی از آن ها ارائه نشده است.از جمله این که ، تعبیر هندسی مشتق مرتبه کسری چیست؟ تا زمان های اخیر حساب دیفرانسیل انتگرال کسری به عنوان یک نظریه ریاضی محض بدون کاربرد در نظر گرفته می شد امّا در چند دهه اخیر موج گسترده ای در زمینه فعالیت های پژوهشی روی کاربردهای حساب دیفرانسیل انتگرال کسری در شاخه های مختلف علمی بوجود آمد که منجر به کشف کاربردهای آن در فیزیک از جمله پدیده انتشار و فرارفت ، کنترل سیستم ، امور مالی و اقتصاد شد.

مسایل اشتورم-لیوول که به مسایل مقدار ویژه نیز موسوم هستند در بسیاری از مسایل فیزیکی و مهندسی و ریاضیات کاربردی ظاهر می شوند و بسیاری از معادلات جزو دسته بندی معادلات اشتورم-لیوویل قرار می گیرند یا با تغییراتی قابل تبدیل به معادله اشتورم-لیوویل هستند. هدف از حل این مسایل در حالت مستقیم پیدا کردن مقادیر ویژه و توابع ویژه ی عملگر اشتورم-لیوویل می باشد. در این پایان نامه به حل مسائل اشتورم-لیوویل کسری با راه حل های تحلیلی و تقریبی پرداخته ایم. این پایان نامه، مشتمل بر چهار فصل است. در فصل اول به تعاریف کلی و مفاهیم اولیه در مورد معادلات دیفرانسیل عادی می پردازیم. در فصل دوم نظریه اشتورم-لیوویل را بیان و به بررسی حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری و معادلات دیفرانسیل کسری پرداخته و نتایج و قضایای مهم آن را ارائه داده ایم. در فصل سوم پنج روش تحلیلی-عددی از جمله روش تجزیه آدومیان، روش تحلیلی هموتوپی، روش اختلال هموتوپی، روش تکراری و روش تبدیل دیفرانسیل را برای حل مسائل اشتورم-لیوویل کسری بکار می بریم، و در فصل چهارم به ارائه برنامه های کامپیوتری این روش ها و مقایسه نتایج پرداخته ایم.

معادلات انتگرال یکی از ابزارهای مهم در ریاضیات کاربردی و محض است. این نوع معادلات در مدل سازی بسیاری از پدیده های غیرخطی، پدیده های فیزیکی و علوم مهندسی ظاهر می شوند. اکثر پدیده های فیزیکی و مسائل مهندسی مانند دینامیک سیالات، مکانیک کوانتومی، انتقال حرارت، رشد جمعیت و وراثت، مطالعه ی رفتار راکتورهای هسته ای ، انتقال بیماری و ... را می توان از طریق مدل سازی ریاضی آن ها درک کرد. در واقع بعد از بیان فیزیکی این مسائل می توان مدل ریاضی آن را بیان کرد که با توجه به نوع تحلیل به کار رفته و همچنین فرایند مورد مطالعه، معادلات حاصل به شکل معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، معادلات انتگرال یا معادلات انتگرال-دیفرانسیل می باشد. حال فرض کنید یک سیستم فیزیکی با استفاده از معادلات انتگرال و معادلات انتگرال-دیفرانسیل مدل سازی شده باشد. به دست آوردن جواب تحلیلی این معادلات اگر ممکن باشد‏، خیلی دشوار و پیچیده است. با گسترش و پیشرفت کامپیوترها و به وجود آمدن زبان های برنامه نویسی، روش های عددی که تقریبی برای جواب این نوع معادلات به دست می آورند، اهمیت ویژه ای پیدا کردند. از این رو مطالعات قابل توجه و زیادی برای حل معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل یک بعدی انجام شده است. همچنین در سال های اخیر استفاده از محاسبات کسری به طور گسترده ای در علوم مختلف مورد بررسی قرار گرفته است. از این رو حل معادلات شامل انتگرال و مشتق کسری از اهمیت خاصی برخوردار است و افراد بسیاری را برای به دست آوردن روشی سریع و کارا به تکاپو واداشته است. روش تبدیل دیفرانسیل نیز یک روش تحلیلی-تقریبی بر اساس سری تیلور می باشد. این روش نیز کارایی خود را در حل معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، معادلات انتگرال و معادلات انتگرال-دیفرانسیل نشان داده است. اهمیت پایان نامه به دلیل کاربرد برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل خطی و به ویژه غیرخطی می باشد‏، همچنین سرعت بالای محاسباتی نسبت به روش سری تیلور و دقت بالا و کاهش حجم محاسبات باکاهش مراحل حل سری ها‏، از دیگر علل اهمیت پایان نامه می باشد. این‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ روش نتایج قابل قبولی نسبت به روش های قبلی موجود ارائه می دهد و روشی کاربردی و امیدبخش برای کلاس گسترده ای از مسائل خطی و غیر خطی در قضیه ی محاسبات کسری می باشد

مسایل اشتورم-لیوویل کسری که به مسایل مقدار ویژه موسوم هستند در خیلی از مسایل فیزیک، مهندسی و ریاضیات کاربردی ظاهر می شوند.بنابراین این مسایل که در کانون توجه ریاضیدانان و فیزیکدانان قرار گرفته است برای اولین بار حدود 170 سال قبل معرفی شدند. در این پایان نامه به معرفی مسایل اشتورم-لیوویل کسری شامل معادلات دیفرانسیل کسری از مرتبه دلخواه آلفا می پردازیم.مشتق و انتگرال ریمن-لیوویل و مشتقات کاپوتو نقش مهمی در این مسایل ایفا می کنند.این مسایل در دو نوع منظم و نامنظم مورد بررسی قرار گرفتند و در ادامه به بررسی و محاسبه مقادیر ویژه و توابع ویژه آن ها از طریق معادله کسری لژاندر پرداخته شده است. این پایان نامه شامل چهار فصل می باشد که در فصل اول مفاهیم و تعاریف اولیه موردنیاز از جمله تبدیل لاپلاس و تبدیل فوریه که در معادلات دیفرانسیل کسری کاربرد دارند مطرح شده است، در فصل دوم مسایل اشتورم لیوویل عادی معرفی و بررسی شده است و در ادامه به معرفی مشتق و انتگرال کسری ریمن-لیوویل و مشتقات کاپوتو و خواص آنها و انتگرال و مشتق کسری ریمن-لیوویل تابع میتاگ-لفلر و همچنین انتگرال و مشتق کسری ریمن-لیوویل در نیمه محور مختصات پرداخته شده است، در فصل سوم ابتدا مسایل اشتورم-لیوویل کسری که مشتق موجود در معادلات دیفرانسیل آنها از نوع کسری است معرفی و خودالحاق بودن مسایل اشتورم-لیوویل کسری بحث شده است و ساده بودن (از مرتبه تکرار یک) مقادیر ویژه مسایل اشتورم-لیوویل کسری ثابت شده است، در فصل چهارم کاربردهایی از مسایل اشتورم-لیوویل کسری از جمله مسایل اشتورم-لیوویل کسری در محیط های پیوسته و حل معادلات پخش کسری با استفاده از مشتق کسری ریمن-لیوویل زمانی بیان شده است و همچنین به مسایل مقدار ویژه برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم پرداخته شده است و معادله پخش کسری در یک دامنه کراندار و معادله پخش کسری در دامنه نامتناهی تعریف و مثال هایی از این معادلات در این فصل آورده شده است.

‏در این رساله مسائل اغتشاشی تکین (مسائل لایه مرزی) همراه با شرایط مرزی موضعی و غیرموضعی مورد بررسی قرار می گیرد که شامل آن دسته مسایلی است که معادلات دیفرانسیل آنها فاقد نقطه برگشتی می باشد‏، معادلات دیفرانسیل دارای نقطه برگشتی در فاصله جواب می باشند‏. در هر دو حالت بسط های مجانبی داخل و خارج لایه مرزی نوشته می شود. سپس روش کلی ارائه می گردد تا مسئله با شرایط مرزی غیر موضعی را به مسئله با شرایط مرزی موضعی تبدیل کند‏، این کار با محاسبه جواب اساسی معادله الحاقی و شرایط ضروری مربوط انجام می شود. این پروسه برای یک معادله مرتبه چهارم همراه با شرایط مرزی غیر موضعی به کار برده می شود. در نهایت یک مسئله اغتشاشی تکین که شامل دستگاه معادلات مرتبه اول خطی عادی با شرایط مرزی غیرموضعی می باشد مورد بحث قرار می گیرد و به کمک شرایط ضروری به دست آمده شرایط لازم و کافی ارائه می شود تا در مسئله اغتشاشی داده شده پدیده لایه مرزی تشکیل نشود‏، حالت های تشکیل لایه مرزی نیز بحث می شود.

هدف این رساله بکارگیری روش های تحلیلی-عددی برای حل مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل کسری می باشد. این رساله در ابتدا به بررسی روش تقریبات متوالی خاص و کاربرد آن روی مسائل مقدار مرزی می پردازد، سپس چند روش انتگرال گیری عددی برای حل معادلات انتگرال دیفرانسیل کسری بکار گرفته خواهند شد و در نهایت به معرفی روش فضای هیلبرت هسته بازتولید به عنوان یک روش قدرتمند برای حل مسائل مقدار مرزی و کاربرد آن در حل یک مسئله مقدار مرزی خاص می پردازد.

مسائل خوش طرح ریاضی فیزیک از اهم مسائل ریاضیات کاربردی، فیزیک و مهندسی می باشند. به این دلیل، در این رساله خوش طرح بودن مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل عادی، پاره ای و کسری از نقطه نظر دامنه و تعداد شرایط مرزی با توجه به مرتبه معادله دیفرانسیل مورد بررسی قرار می گیرند. بر این اساس ابتدا به مفاهیم مقدماتی و تعاریف اساسی در فصل اول پرداخته می شود سپس به مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل عادی، پاره ای و کسری از نقطه نظر وجود جواب و یگانگی جواب می پردازیم. این مسائل شامل جملاتی از انتگرال های ولترا و فردهلم هستند و خوش طرح بودن آنها را نقطه نظر تعداد شرایط مرزی و مرتبه معادله دیفرانسیل و همچنین وجود تکینی در انتگرال ها مورد بررسی قرار می گیرند. در ادامه به انواع مختلف معادلات دیفرانسیل پاره ای که مرتبه های آنها می تواند اعداد صحیح زوج و فرد و کسری باشد، پرداخته و شرایط مرزی مناسب برای آنها را تعیین می کنیم. در نهایت مسائل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل پاره ای خود الحاق و ناخودالحاق را در حالت های جداگانه در نظر می گیریم و وجود و یگانگی و محاسبه جواب این مسائل را از روش متغیرهای جدا که شرایط مرزی در آنها بصورت غیر موضعی داده شده است را انجام می دهیم. این مسائل علاوه بر حالت های خود الحاق و ناخود الحاق بطور جداگانه برای حالت ضرایب ثابت مختلط و ضرایب شامل متغیر مورد بررسی و حل قرار می گیرند..

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

بسیاری از مسایل علوم پایه از جمله فیزیک، شیمی، ... و علوم مهندسی مانند مکانیک، الکترنیک و ... به حل معادلات انتگرال منجر می شود. برخی از مو?لفان روش عددی ساده ای را پیشنهاد می کنند تا جواب رده خاصی از معادلات انتگرال منفرد کوشی را تقریب بزنند. در این پایان نامه، هدف ارایه روشی برای حل رده ای از معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم به شکل است که در آن عدد حقیقی ، تابع معلوم، وزن هرمیت ، تابع مجهول معادله انتگرال و هسته معادله انتگرال با تابع معلوم است . روش پیشنهادی بر اساس فرآیند درون یابی با صفرهای هرمیت است و مرتبط با تابع ناقص و همگراست . جواب تقریبی توسط چندجمله ای که ضرایب آن ها از حل دستگاه خطی خوش حالت به دست می آیند، ارایه می شود.

معادلات عادی و پاره ای از مرتبه ی کسری از جمله مباحث اساسی فیزیک و مهندسی هستند. این معادله ها می توانند با قبول کردن شرایط مرزی و اولیه به مسئله ی مقدار مرزی یا مسئله ی کوشی تبدیل شوند. اساس این معادلات بر مبنای مفهوم محاسبات کسری است که در فصل دوم به تفضیل به روند پیدایش و تعاریف مرتبط با آن پرداخته شده است.این پایان نامه از دو قسمت تشکیل یافته است. قسمت اول شامل فصل های اول و دوم، که به بیان و تعریف مفاهیم مقدماتی و اساسی از مشتق و انتگرال کسری می پردازد و معادلات دیفرانسیل مرتبه ی کسری را نیز معرفی می کند و سپس در فصل سوم یک سری از معادلات پاره ای از مرتبه ی کسری نسبت به زمان را در نظر می گیرد و با در نظر گرفتن شرایط اولیه به اثبات قضیه وجود و یگانگی برای جواب های این دسته از معادلات می پردازد و در قسمت دوم در قالب فصل چهارم روش های تقریبی و تحلیلی برای معادلات پاره ای از مرتبه ی کسری معرفی می شوند که شامل دو روش تقریبی و یک روش تقریبی-تحلیلی برای حل این دسته از معادلات است.

ازآن جایی که می دانیم جواب دقیق برای اکثر معادلات از جمله مسائل اغتشاشی تکین به راحتی به دست نمی آیند، از اینرو هدف اصلی ما در این پایان نامه به دست آوردن جواب تقریبی مجانبی یکنواخت برای این چنین مسائلی می باشد. لذا در صدد معرفی روش هایی برای به دست آوردن جواب تقریبی برای مسائل اغتشاشی تکین با شرایط اولیه و همچنین معرفی روش بسط های مجانبی سازگار شده در پنج مرحله برای مسائل مقدار مرزی بدون نقطه بر گشتی و همچنین شامل نقطه برگشتی بر می آییم که در این میان با تحمیل شرایطی بر مسئله اغتشاشی تکین شامل نقطه برگشتی، حالت های متفاوتی به وجود می آیند که برای این حالت ها با احتمال وجود و عدم وجود لایه های مرزی و داخلی، جواب تقریبی مجانبی را با دو روش متفاوت بسط های مجانبی سازگار شده و آنالیز مجانبی مورد بحث و بررسی قرار می دهیم .

ازآن جایی که می دانیم جواب دقیق برای اکثر معادلات از جمله مسائل اغتشاشی تکین به راحتی به دست نمی آیند، از اینرو هدف اصلی ما در این پایان نامه به دست آوردن جواب تقریبی مجانبی یکنواخت برای این چنین مسائلی می باشد. لذا در صدد معرفی روش هایی برای به دست آوردن جواب تقریبی برای مسائل اغتشاشی تکین با شرایط اولیه و همچنین معرفی روش بسط های مجانبی سازگار شده در پنج مرحله برای مسائل مقدار مرزی بدون نقطه بر گشتی و همچنین شامل نقطه برگشتی بر می آییم که در این میان با تحمیل شرایطی بر مسئله اغتشاشی تکین شامل نقطه برگشتی، حالت های متفاوتی به وجود می آیند که برای این حالت ها با احتمال وجود و عدم وجود لایه های مرزی و داخلی، جواب تقریبی مجانبی را با دو روش متفاوت بسط های مجانبی سازگار شده و آنالیز مجانبی مورد بحث و بررسی قرار می دهیم .

این رساله بدون احتساب فصل صفر که به مقدمه و تاریخچه موضوع تحقیق می پردازد متشکل از چهار فصل می باشد فصل اول به بیان تعاریف و مفاهیم اساسی و مباحث ریاضی مورد نیاز در فصول آتی می پردازد. در فصل دوم آن خوش طرح بودن مسائل مقدار مرزی و اغتشاشی ازنقطه نظر شرایط مرزی مسئله بحث می شود.فصل سوم، به مسائل اغتشاشی غیرعادی می پردازد. در این فصل روشی ارائه می شود که به وسیله آن تعیین می گردد که در مسئله اغشاشی داده شده لایه مرزی در کدام نقطه مرزی تشکیل می شود که خصوصا وقتی که شرایط مرزی مسئله به صورت غیرموضعی داده شود این کار بوسیله دستگاه جبری متشکل از شرایط ضروری معادله دیفرانسیل و شرایط مرزی مسئله انجام می گیرد.از آنجا که در یک مسئله اغتشاشی غیرعادی جواب تقریبی مسئله به صورت جواب های داخل لایه مرزی و خارج لایه مرزی نوشته می شود بنابراین ابتدا به روشهای فصل سوم تعیین می گردد که در کدام نقطه مرزی، لایه مرزی تشکیل می شود. تا بر اساس آن جواب داخل و خارج لایه مرزی نوشته شود. سپس شرط سازگاری مجانبی جواب ها هم در حالت شرایط مرزی موضعی و هم در حالت موضعی بحث می شود.نهایتا با استفاده از ثابت های اختیاری که در جواب های عمومی معادلات دیفرانسیل ظاهر می شوند شرایط تناوبی جواب ها اعمال می گردد و نشان داده می شود که اگر داده های مسئله به صورت توابع تناوبی باشند آنگاه م توان بوسیله ثابت های اختیاری، شرایط تناوبی را به منظور حصول به جواب های تناوبی اعمال کرد.