چکیده : این پایان نامه شامل چهار فصل می باشد در فصل اول برخی از تعریف ها ، مفاهیم و لم های اساسی که در فصول بعدی مورد استفاده قرار می گیرند ارائه می گردد . در فصل دوم مخروط ، مخروط نرمال ، مخروط منظم ، و برخی ویژگیهای آنها معرفی شده و سپس فضای متریک مخروطی را بیان کرده و برخی تعریف ها و قضیه ها در فضای متری را به فضای متریک مخروطی تعمیم داده ایم و سپس تعدادی از قضیه های نقطه ی ثابت نگاشت های انقباضی را در فضای متریک مخروطی بیان و اثبات می کنیم و نتایج بدست آمده را به وسیله ی چند مثال مقایسه می کنیم . در فصل سوم مفهوم انقباض را برای نگاشتهای مجموعه مقدار در فضاهای متریک و همچنین شرط تضمین وجودی نقطه ثابت برای نگاشتهای انقباضی را ارائه میدهیم . و در نهایت در فصل چهار فرآیندهای دینامیکی را معرفی کرده و نگاشتهای غیر خطی مجموعه مقدار در فضاهای متریک مخروطی بیان می کنیم .

در این پایان نامه به طبقه بندی معادلات تفاضلی بر اساس فرم نرمال آفین خواهیم پرداخت، سپس با کمک این فرمهای نرمال شرط جدیدی برای تناوب کلی معادلات تفاضلی بدست می آوریم، با استفاده از این شرایط مثالهایی از معادلات متناوب کلی را ارائه می دهیم. دو الگوریتم را معرفی می کنیم که با استفاده از آنها معادلات متناوب جدید را بدست می آوریم. سپس شرط لازم جدیدی برای تناوب کلی سیستم های دینامیکی گسسته و معادلات تفاضلی گویا بدست می آوریم. این شرط برای حل مسائلی از تناوب کلی معادلات تفاضلی گویا مرتبه دوم به کار می رود.

معادلات تفاضلی و به خصوص معادلات تفاضلی غیرخودگردان بر اساس کاربردهایی که در زمینه های مختلف ریاضیات کاربردی مانند علم اقتصاد، جمعیت شناسی، علوم اجتماعی، نظریه کنترل و .. دارند، اهمیت فراوانی پیدا کرده اند. در این پایان نامه،با مطالعه ی یک رده از معادلات تفاضلی غیرخودگردان و سیستم های دینامیکی ضرب-مورب که در ارتباط با مدل های اجتماعی پدید آمده اند و با در نظرگرفتن برخی شرایط و فرضیات، ویژگی هایی از آن ها چون پایداری و وجود دورهای پایدار مجانبی سراسری و دورهای ضعیف مورد بررسی قرار گرفته است.

معادلات تفاضلی، به خصوص معادلات تفاضلی تأخیری بر اساس کاربردهایی که در زمینه های مختلف از جمله مسائل وابسته به سود، تعیین قیمت یک کالا در اقتصاد، مدل جمعیتی، مدل تولید سلول های خون در زیست شناسی، علوم اجتماعی و...دارد، توجه تعداد زیادی از پژوهشگران را به خود اختصاص داده است. اهمیت این معادلات به‎‎‎ اندازه ای است که با وجود گذشت زمان نسبتاً کمی از مطرح شدن این مسائل کارهای زیادی در رابطه با وجود جواب، پایداری و همگرایی همه جواب های معادله به نقطه تعادل آن صورت گرفته است. ‎‎‎ در این پایان نامه به بررسی یک نوع معادله تفاضلی تأخیری که در زیست شناسی کاربرد زیادی دارد می پردازیم. هدف این پایان نامه، یافتن شرایط کافی برای همگرایی همه جواب های این معادله به نقطه تعادل آن می باشد. این در حالی است که شرایط موجود به گونه ای در نظر گرفته شده است که بتوان شرایط بهتری را برای همگرایی همه جواب ها به نقطه تعادل ایجاد کرد. به عنوان کاربردی از نتایج به دست آمده، شرایطی دقیق تر و آسان تر برای همگرایی همه جواب های معادلات مکی-گلاس و لسوتا-ویزواسکا به نقاط تعادل متناظرشان فراهم می شود. همچنین پایداری مجانبی و جاذبیت کلی نقطه تعادل و رفتارهای متناوب یک نوع معادله تفاضلی گویا مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه در صدد معرفی مفاهیمی مثل نقاط ثابت زوج، نقاط انطباقی، تعویض پذیری توابع، یکنوایی مرکب و قضایای وجود و یکتایی نقاط ثابت نگاشت های انقباضی در فضاهای متریک کامل مرتب جزئی هستیم که تعمیم قضایای بهاسکار و لاکاشمیکاندام می باشد.

در این پایان نامه ابتدا به بیان مفهوم توابع مقعر روی منیفلدهای ریمنی می پردازیم و یک مثال از این نوع از توابع را ارائه می دهیم . سپس مفهوم میدان برداری یکنوای پایا روی منیفلدهای ریمنی رامعرفی کرده و چندین مثال مختلف از آن را ارائه می کنیم. سپس ارتباط این دو مفهوم را طی چند قضیه بررسی می کنیم . در پایان نیز مفهوم تقعر کاذب و یکنوایی پایای کاذب را معرفی کرده و ارتباط شان را با مفاهیم فوق الذکر بررسی ی کنیم.

این پایان نامه مشتمل بر4 فصل می باشد که عمده مطالب آن برگرفته از مقاله های ال آیدی elaydi و ساکرsacker وهنسون henson می باشد. در فصل اول یک سری از تعاریف و مفاهیم مورد نیاز و مرتبط با معادلات غیر خود گردان، جاذبیت و پایداری این سری از معادلات بیان گردیده است. درفصل دوم به معرفی سیستم های دینامیکی ضرب مورب که در ارتباط با معادلات تفاضلی غیر خودگردان مطرح شده است، می پردازیم و همچنین دورهای هندسی را معرفی کرده و در ادامه قضیه شارکوفسکی و عکس آنرا برای معادلات تفاضلی اثبات می کنیم . در فصل سوم مدارهای متناوب در سیستم های گسسته را مورد بررسی قرار داده و این مدارها را در حالت خود گردان و غیر خود گردان مقایسه کرده و مدارهای متناوب چند مدل جمعیتی را مورد بررسی قرار می دهیم . در فصل چهارم به معادله معروف منطقی متناوب از نظر وجود و پایداری دورها توجه کرده و در حالت خاصی دورهای آنرا به دست آورده و پایداری آنها را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه تکرارهای بسیار ساده از معادلاتی به شکل x_(n+1)=f(x_n) را مورد بررسی قرار می دهیم. ویژگی مطلوب مدل های ساده رشد جمعیت این است که در صورت داشتن پایداری موضعی، پایداری سراسری را ثابت می کنند. نشان می دهیم که پوشش توسط یک تابع کسری خطی، برای برقراری پایداری سراسری در نقطه تعادل کافی است، و هم چنین 7 مدل استاندارد بیولوژیکی را تعریف می کنیم که پایداری موضعی نقطه تعادل، نشان دهنده پوشش توسط یک تابع کسری خطی است، از اینرو پایداری سراسری دارد. در نهایت، برای محدوده میان تعدیل های یکنواخت و تعدیل های نوسانی به سمت یک نقطه تعادلی پایدار، فرمولی کلی ارائه می دهیم که برای هر مدلی قابل استفاده است.

شرایطی که تحت آن ها نگاشت ها بی دور می شوند و کاربردهایی از این مفاهیم در مدل های حمعیتی عمومی ارائه می شود وهمچنین بررسی شرایطی که نگاشت ها 2-دور خواهند داشت

در این پایان نامه پس از معرفی مفاهیمی چون توپولوژی، اصول جدا سازی، مشبّکه ها، توپولوژی اسکات و متریک های تعمیم یافته و سیستم های تشابهی تعمیم یافته و گوی های پیش باز راست، چپ و ساختارهای همسایگی بدست آمده از گوی های پیش باز به مطالعه سیستم های انتقالی، مشبّکه های پیوسته و جبری و معادل هایی از توابع پیوسته موضعی و سرتاسری می پردازیم. همچنین قضایای مهم مرتبط با این مفاهیم را ارائه می دهیم. کلمات کلیدی: متریک های تعمیم یافته، تشابه، یکنواختی، مشبّکه ها، سیستم های تعمیم یافته، توابع پیوسته موضعی، توابع پیوسته سرتاسری و سیستم های انتقالی

عملگرهای یکنوا ماکسیمال دسته خاصی از نگاشت های مجموعه مقدار هستند که دارای اهمیت زیادی در ریاضیات می باشند. یکی از ایده هایی که تقریباً از ابتدای بررسی عملگرهای یکنوا ماکسیمال مورد توجه تمام ریاضیدانان بوده توسعه این عملگرها به یک نگاشت مجموعه مقدار بزرگ تر بود. در این پایان نامه علاوه بر معرفی عملگرهای یکنوا ماکسیمال و قضایای مربوط به آن ها یک خانواده از توسعه های عملگرهای یکنوا ماکسیمال را مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. سپس به بررسی توسعه پذیری این نوع عملگرها پرداخته و در پایان نیز کاربرد دسته ای خاص از این توسعه ها را در تساوی دو عملگر یکنوا ماکسیمال بیان می کنیم.

در این پایان نامه ، علاوه بر معرفی نیم پیوسته ی پایین ، زیر مشتق و توابع مزدوج ، به بررسی عملگرهای یکنوای ماکزیمال می پردازیم و در ادامه شرطی ضعیف را ارائه می دهیم که تحت آن عملگر a*otoa یکنوای ماکزیمال شود ، وقتی که a عملگری خطی و پیوسته بین دو فضای باناخ انعکاسی و t یک عملگر یکنوای ماکزیمال می باشد و به عنوان حالتی خاص از آن نیز شرط ضعیف تری را می آوریم که تحت آن دو عملگر یکنوای ماکزیمال روی یک فضای باناخ انعکاسی ، یکنوای ماکزیمال می باشد .

در این پایان نامه به مطالعه و تحقیق درباره فضاهای متریک ژئودزیک پرداخته ، دراین راستا فضاهای متریک ژئودزیک با خاصیت (cat(k را معرفی کرده و به بررسی ویژگی های خاص این فضاها می پردازیم و بویژه درمورد ویژگی های فضاهای cat(1) و cat(0 مطالعه می کنیم ، و نشان می دهیم که این فضاها دارای خواص مشابه به فضای هیلبرت می باشند و آن را به عنوان تعمیم متریک فضاهای هیلبرت می شناسیم . در ادامه نگاشت های چند مقداری لیپ شیتز یکنواخت را روی چنین فضاهایی تعریف کرده و به بررسی وجود نقطه ثابت برای این نگاشت ها می پردازیم ، همچنین وجود نقاط ثابت این نگاشت ها را روی فضاهای کامل و فضاهای با ناخ محدب یکنواخت بررسی می کنیم .فضاهای(cat(k در فصل دوم معرفی میشوند و ویژگیهای فضاهای(cat(0 مورد بررسی قرار میگیرد.مطالبی در مورد فضاهای(cat(1 در فصل سوم مورد بررسی قرار میگیرد و نتایج بهدست آمده را به فضاهای(cat(k تعمیم میدهیم.و در فصل چهارم در مورد نقطه ثابت نگاشت های k-لیپ شیتز یکنواخت روی فضاهای مختلف مطالعه میکنیم.

در این پایان نامه به بررسی خواص ارگودیک غیر خطی برای نیم گروه شدیدا میانگین پذیری از نگاشتهای غیر انبساطی گونه تقریبا مجانبی می پردازیم

در این پایان نامه مفاهیم بنیادی به کا ررفته درفصل اول از دو کتاب پایه در نظریه نقطه ثابت برای نگاشت های لیپ شیتز بوده که به عنوان مراجع ]7[و] 8[ در انتها درج گردیده وبه همراه مراجع ]3[و] 4[و] 9 [ منابع اصلی این پایان نامه را تشکیل می دهند. دراین پژوهش معمولا یک فضای باناخ و یک زیر مجموعه ناتهی وبسته ومحدب فضای باناخ می باشدو یک نگاشت لیپ شیتنز بوده و مجموعه نقاط ثابت نگاشت می باشد ونمادها واصطلاحات به کار رفته استاندارد می باشند. در فصل دوم تحدب فضاهای باناخ را مورد مطالعه وبررسی قرار می دهیم. تابع باضابطه را مدول تحدب کلارک سون می نامیم که در مطالعه تحدب فضاهای باناخ نقش بسیار مهمی را ایفا می نماید. فضای باناخ را محدب یکنواخت گوییم هرگاه برای هر ، باشد.برای مثال هر فضای هیلبرت محدب یکنواخت می باشد. در فصل سوم به مطالعه ضرایب هندسی فضاهای باناخ وساختارنرمال می پردازیم. اگر یک زیر مجموعه ناتهی ومحدب فضای باناخ باشد در این صورت گوییم دارای ساختار نرمال است هرگاه برای هر زیر مجموعه محدب وکراندار از با قطر مثبت نقطه ای مانند و یافت شود به طوری که .وگوییم فضای باناخ دارای ساختار نرمال است هرگاه هر زیر مجموعه بسته وکراندار ومحدب باقطر مثبت دارای ساختار نرمال باشد. اگر مستقل از چنان یافت شود که در این صورت گوییم دارای ساختار نرمال یکنواخت است. اگر یک زیر مجموعه ناتهی وکراندار فضای باناخ باشد در این صورت عدد حقیقی راشعاع چبیشف گوییم وعدد حقیقی را که اینفیموم روی زیر مجموعه های محدب وکراندار از گرفته می شود را ضریب ساختار نرمال گوییم.به وضوح و دارای ساختار نرمال یکنواخت است اگر وتنها اگر . عدد حقیقی راکه در آن محدب وفشرده ضعیف می باشد راضریب ساختار نرمال ضعیف گوییم. اگر باشد آن گاه دارای ساختار نرمال ضعیف ونرمال یکنواخت ضعیف می باشد. فصل چهارم را بامعرفی بعضی از خواص مجموعه های نقاط ثابت نگاشت های غیر انبساطی شروع کرده ودر ادامه به بررسی ساختار مجموعه های نقاط ثابت نگاشت های به طور مجانبی منظم و لیپ شیتز می پردازیم .نتایج مادر این فصل نتایج اخیر در مقالاتی مانند مراجع ]1[و] 5[و] 12 [ که پیرامون ساختار مجموعه های نقطه ثابت نگاشت های لیپ شیتز ارائه گردیده است را بهبود می بخشد،ازطرفی متوجه می شویم که مجموعه نقاط ثابت نگاشت های لیپ شیتز برای هر می تواند بسیار بی قاعده باشد.

برخی روشهای تکراری اعم از تکرار ترکیبی و کلی را برای نگاشتهای غیر انبساطی روی فضای باناخ تعریف می کنیم و بادر نظر گرفتن شرایطی روی فضاهای باناخ قضایای همگرایی قوی را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه با در نظر گرفتن نگاشتهای بطور ضعیف سازگار و عملگرهای باناخ دوتایی شرایطی را مورد بررسی قرار می دهیم که تحت آن شرایط این نگاشتها دارای نقطه ثابت باشند.

دراین پایان نامه برخی قضایای نقاط ثابت مشترک را برای نگاشتهای چند مقداری روی فضاهای متریک ذکر میشود.این قضیه ها تعمیم هایی از قضایای معروف نقطه ثابت برای نگاشتهای چند مقداری هستند.

فرض کنیمh یک فضای هیلبرت وf و k نگاشتهای کراندار، پیوسته ویکنوا روی فضای h باشند. همچنین فرض کنیم *u یک جواب معادله همرشتاین u +kfu =0 باشد. در این پایان نامه ابتدا یک روش تکراری بنا کرده وهمگرایی قوی این روش را به جواب این معادله مورد بررسی قرار میدهیم. سپس این موضوع را به نگاشتهای فضاهای باناخ که در شرایط خاص صدق میکند، تعمیم میدهیم

در این پایان نامه به معرفی فضای متریک جزئی پرداخته و و جود و یکتایی نقطه ثابت را برای نگاشت های انقباضی تعمیم یافته بررسی می کنیم. همچنین نگاشت های g-تقریبی را در فضای متریک جزئی ارائه داده و وجود نقطه ثابت مشترک را برای این نگاشت ها که در شرایط انقباض تعمیم یافته صدق می کند، در فضای متریک جزئی مرتب اثبات می کنیم.به علاوه مفهوم یک متر هاوسدرف جزئی را مطرح کرده و شرایط وجود نقاط ثابت را برای تعدای نگاشت غیرخطی چندمقداری بررسی می کنیم.

ریاضی محض

در این پایان نامه کارهای لوییس،لوک و مالیک را در رابطه با همگرایی خطی دنباله های تولید شده توسط روش تصاویر متناوب را ثابت می کنیم. ابزار مورد نیاز مخروط های نرمال تحدید شده می باشد.روش تصاویر متناوب نه فقط در مورد زیر فضاهای خطی بلکه برای هر دو فضای محدب و بسته که رابطه تلاقی درونی هایشان پوشیده است،بررسی می شوند. همچنین مجموعه های محدب وخواص آنها واجتماع آنها را بررسی می کنیم.ودر نهایت مخروط نرمال تحدید شده را از جهت قید توصیفی و ابر منتظم ها مورد مطالعه قرار می دهیم.

دراین پایا ن نامه کارهای لوییس،لوک ومالیک را توسعه داده ونتایج آنهارا روی مخروطهای نرمال یاحداقل یک مجموعه از ابرمنتظم ها بررسی کرده به گونه ای که نه فقط در مورد زیر فضاهای خطی بلکه برای هر دو فضای محدب وبسته که رابطه ی تلاقی درونی هایشان بسته است برقرار میباشد.همچنین مجموعه های محدب وخواص آنها واجتماع آنها را بررسی می کنیم .ابزار مورد نیاز مخروط نرمال تحدید شده می باشد.

در آنالیز کلاسیک مشتق¬پذیری توابع نقش اساسی را ایفا می¬کند. به طور کلی در آنالیز هموار توابع همه جا مشتق پذیر نیستند، اما بحث مشتق پذیری توابع در آنالیز غیر هموار کمی پیچیدتر می¬شود. دراین پایان¬نامه بر آن هستیم که به معرفی چند مشتق برای توابع تعریف شده روی یک فضای باناخ بپردازیم. در ادامه با استفاده از مشتق¬های معرفی شده مفهوم زیر مشتق را بیان می¬کنیم. هدف اصلی ما در این پایان نامه معرفی ε-زیرمشتق دینی-هادامارد و همچنین بیان یک رابطه کلی برای ε-زیرمشتق دینی-هادامارد تفاضل دو تابع می¬باشد. بدین منظور مفاهیمی چون اسفنج و فاصله¬ای پیوسته را معرفی می¬کنیم و با استفاده از آن¬ها به اثبات چند قضیه در رابطه با ε-زیرمشتق دینی-هادامارد توابع روی یک فضای باناخ می¬پردازیم.

بحث وجود نقطه ثابت یکی از قدرتمندترین ابزار در آنالیز غیرخطی می باشد که از آن به عنوان هسته آنالیز غیرخطی یاد می شود. معروفترین قضیه نقطه ثابت در آنالیز غیرخطی قضیه انقباضی باناخ می‎ باشد که در سال ‎‎ ‎1922‎ ‎‎ توسط باناخ اثبات گردید و پس از آن این قضیه توسط افراد بسیار تعمیم یافت. یکی از مباحثی که در نقطه ثابت اخیرا مورد توجه قرار گرفته است، ‎ ‎g‎ ‎-انقباض‎‎ های باناخ می باشد که در آن ‎ ‎g‎ ‎‎‎ یک گراف است. در این پایان نامه بحث وجود نقطه ثابت برای چنین نگاشت هایی مورد بررسی قرار می گیرد.