فرض کنیم r حلقه ای یکدار و شرکت پذیر، m یک r –مدول راست یکانی و (s=end(m حلقه ی r- درون ریختی ها روی m باشد. حلقه ی r را بائر (بئر ) گوییم هرگاه پوچ ساز راست هر زیر مجموعه ی r، جمعوند مستقیمی ازr باشد. در این پایان نامه مفهوم بائر( بئر) و خواص مربوط به آن را برای یک مدول دلخواه بیان می کنیم. مدول mبائر است اگر به ازای هر ایدال چپ i از حلقه ی s، r_m (i)?^?m . نشان می دهیم خاصیت بائر توسط جمعوندهای مستقیم به ارث برده می شود. هم چنین ارتباط بین مدول های توسیعی و مدول های بائر را مورد بررسی قرار داده و نشان می دهیم m بائر و k- هم نامنفرد است اگر و تنها اگر توسیعی و k- نامنفرد باشد. علاوه بر این، حاصل جمع مستقیم مدول های بائر را مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم . ثابت می کنیم حلقه یr موروثی و نیم ابتدایی است اگر تنها اگر هر r- مدول آزاد، بائر باشد. نشان داده می شود برای مدول بائر و تورونده ی m، حاصل جمع مستقیم متناهی از کپی های m بائر است اگر و تنها اگر (s=end(m، نیم موروثی چپ و ?- چسبیده ی راست باشد.

در این رساله ما ابتدا به تعمیم مفاهیم کرانداری و کاملا کرانداری برای مدول ها می پردازیم. برای این منظور مفهوم ایده آل اول را تعمیم داده و رده مهمی از زیرمدول های کاملا پایا در یک مدول را معرفی می کنیم. سپس به کمک این مفاهیم (کرانداری و کاملا کرانداری) حلقه های آرتینی، نیم آرتینی، پیش نیم آرتینی و نیز حلقه های دارای ساکل اساسی را مشخصه سازی خواهیم کرد. به ویژه ثابت می کنیم که همه مدول های راست کراندار هستند اگر و تنها اگر حلقه زمینه دارای ساکل راست اساسی باشد. هم چنین نشان می دهیم که یک حلقه پیش نیم آرتینی است اگر و تنها اگر همه مدول ها کاملا کراندار باشند. در ادامه بعد کرول مدول های کاملا کراندار را مورد بررسی قرار می دهیم و ثابت می کنیم که بعد کرول رده های خاصی از مدول های کاملا کراندار حداکثر برابر با بعد کرول کلاسیک حلقه زمینه است. پس از آن مفهوم بعد کرول کلاسیک حلقه ها را برای مدول ها تعمیم داده و چندین قضیه مهم را برای این تعمیم بیان می کنیم. به ویژه در این بخش دو تعمیم دیگر به نامهای درون کرانداری و کاملا درون کرانداری ارایه داده و کرانهایی برای بعد کرول این مدول ها توسط بعد کرول کلاسیک معرفی شده به دست می آوریم. در پایان نیز توجه خود را معطوف مطالعه مدول های تصویری محض و تزریقی محض روی حلقه های ماتریس های پایین مثلثی صوری نموده و ضمن مشخصه سازی این مدول ها کاربردهایی نیز در نظریه حلقه ها ارایه می کنیم. از جمله ثابت میکنیم که یک حلقه چسبیده راست است اگر و تنها اگر همه حلقه های ماتریس های پایین مثلثی روی آن چسبیده راست باشند.

: در این رساله ضمن تعریف تجزیه متعامد برای یک مدول نشان می دهیم که یک مدول تعداد متناهی جمعوند تماماً پایا دارد اگر و تنها اگر حلقه درونریختی هایش بعد مثلثی متناهی داشته باشد. بعد مثلثی یک مدول را برابر با سوپریموم طول تجزیه های متعامد چپ آن تعریف می کنیم. بعد مثلثی یک مدول تحت موریتا پایا است و برای حلقه های ایدآل اصلی آرتینی بعد مثلثی یک مدول با تعداد مولفه های ساکل آن مدول برابر است. اگر حلقه تعویض پذیر باشد، آن حلقه کامل است اگر و تنها اگر نیم آرتینی با بعد مثلثی متناهی باشد. نتایج اخیر بیرکنمیر و همکارانش درباره بعد مثلثی حلقه ها به مدول ها تعمیم داده شده است. برخی از نتایج مربوط به بعد مثلثی حلقه ها با رویکرد مدولی ساده تر بدست آمده اند. همچنین حلقه های نیم اول تکه ای تعریف شده اند. رده حلقه های نیم اول تکه ای به طور سره شامل حلقه های نیم اول و حلقه های اول تکه ای می باشد. این خاصیت برای حلقه ها موریتا پایاست و برخی توسیع های یک حلقه نیز آن را به ارث می برند. با استفاده از حلقه های نیم اول تکه ای، حلقه های بئر ضعیف راست مشخصه سازی شده است. حلقه هایی که پوچ ساز راست هر ایدآل پوچ توان آن به عنوان یک ایدآل راست توسط یک خود توان تولید شود. در نهایت تعمیمی از مدول های اول را معرفی نموده و برخی از خواص آن ها را مورد بررسی قرارداده ایم.

فرض کنیم r یک حلقه و m یک –r مدول چپ باشد. زیر مدول سره l از m، رادیکال است اگر l اشتراکی از زیرمدول های اول m باشد. به علاوه زیر مدول l از m ایزوله است اگر برای هر زیر مدول سره n از l، یک زیر مدول اول k از m وجود داشته باشد به طوری که n?k اما l?k. در این مقاله ثابت می شود که هر زیر مدول سره m (و از این رو هر زیر مدول m) ایزوله است اگر و تنها اگر برای هر زیر مدول n از m و هر ایده آل (اولیه چپ) i از r داشته باشیم n?im=in. در این حالت b/p برای هر ایدآل اولیه چپ p از r یک حلقه آرتینی است. در این مقاله ثابت می شود یک زیر مدول متناهی مولد n از یک –r مدول چپ ناصفر m ایزوله است اگر وتنها اگر برای ایدآل اولیه چپ p از r داشته باشیم pn=n?pm. اگر r یک حلقه جابجایی باشد، زیر مدول متناهی مولد n از –r مدول تصویری m، ایزوله است اگر و تنها اگر n جمعوند مستقیم m باشد.

حل یک دستگاه از چند جمله ایها همواره یکی از مسایل مهم در ریاضیات و به ویژه در جبر و هندسه جبری محاسباتی بوده است. نظریه حذف یکی از روشهای مهم در حل دستگاه چند جمله ایها است. یکی از شاخه های مهم در نظریه حذف منتج است. منتج اولین بار توسط بزو وایلر در سال 1764 معرفی گردید و پس از آن در سال 1840 توسط سیلومتر روشی برای محاسبه منتج دو چند جمله ای یک متغیره مطرح شد. سپس ریاضی دانان روسی یک منتج جدید به نام منتج چنبری را معرفی کردند. ولی منتج های بیان شده در برخی موارد حالت تباهیده دارند. در این پایان نامه توسیعی از منتج n+1 چند جمله ای n متغیره معرفی و وجود آن روی یک چند گونای یکسو گویا اثبات می شود. سپس با توسیع کاربزو و ایلریک ماتریکس به نام ماتریس بزویی تعریف می شود که کهادهای ماکزیمال آن مضربی از منتج می باشند.

در این رساله‏، به مطالعه مدول های برگشت پذیر پرداخته و مسائل برخواسته و مرتبط با مدول های برگشت پذیر مورد بررسی قرار داده شده است. همچنین نشان داده شده است که حلقه های ‎ hom ‎‏-برگشت پذیر‏، دسته خاصی از حلقه ای کامل و حلقه های حلقه های ‎ rej ‎‏-برگشت پذیر ‏همان حلقه های نیم ساده آرتینی می باشند. در ادامه مدول ها و حلقه های جمع شدنی را مورد مطالعه قرار داده و نشان داده شده است که برای حلقه های جابه جایی‏، شرط جمع شدنی بودن با شرط نیم آرتینی بودن برای حلقه معادل است. همچنین تساوی این دو شرط‏، با شرایطی روی حلقه در حالت ناجابه جایی‏، ثابت شده است. حلقه های جمع شدنی‏، حلقه های ایدآل اصلی آرتینی و حلقه های کوته با هم مورد مطالعه قرار گرفته شده است.

هرگاه r یک حلقه یکدار و شرکت پذیر بوده و یک درونریختی از آن باشد. نگاشت جمعی r-r را یک مشتقگیر از r نامند هر گاه برای هر ab)=(a)(b)+(a)b,ber ) برای حلقه r و معرفی شده توسیع ار r[x;a] تعمیمی از حلقه چند جمله ای ها می باشد. همچنین حلقه r را دیووی چپ (راست) گویند درگاه ایدآل چپ (راست) آن دو طرفه باشد. در این پایان نامه نشان می دهیم توسیع های ار تعویض ناپذیر r[x;a,a] که دیووی راست باشند وجود دارند. همچنین روشی برای ساخت حلقه هایی که دیووی یک طرفه اند ارایه می دهیم و با مثال هایی نشان می دهیم شرایط لازم برای دیووی راست بودن یک توسیع ار که توسط مارکز بیان شده اند شرایط کافی نیستند.

مفهوم مدول به طور ضعیف کوهاپفی به این صورت تعمیم داده شده است؛ مدول m شبه کوهاپفی نامیده می شود اگر برای هر درون ریختی یک به یک f از m، (m/f(m منفرد باشد. این مدول ها به طور وسیع بررسی شده اند. روی حلقه های نا منفرد راست، شرط های معادلی برای یک مدول شبه کوهاپفی بدست آمده است. حلقه ی r نیمه ساده است اگر و تنها اگر هر r- مدول شبه کوهاپفی، کوهاپفی باشد. حلقه ی rنامنفرد راست استاگر تنها و تنها اگر هر r-مدول یا بعد تقلیل یافته ی متناهی، شبه کوهاپفی باشد. هر مدول شامل (یگانه) زیرمدولی است که بزرگترین زیرمدول کاملا-پایا و شبه کوهاپفی مر باشد. این زیرمدول برای برخی از مدول ها از جمله مدول های نیمه ساده، مشخص شده است، به علاوه، یک مدول شبه انژکتیو به طور ضعیف کوهاپفی روی یکحلقه ی نوتری راست مشخص شده است. مدول هایی که هر زیرمدول از آن ها به طور ضعیف کوهاپفی (به طور نظیر، شبه کوهاپفی) باشد، کاملا به طور ضعیف کوهاپفی ( به طور نظیر، کاملا شبه کوهاپفی) نامیده می شوند. مدول های با بعد یکنواخت متناهی (به طور نظیر، با بعد تقلیل یافته ی متناهی) کاملا به طور ضعیف کوهاپفی (به طور نظیر، کاملا شبه کوهاپفی) می باشند. آن دسته از حلقه های نیمی آرتینی راست و fbn راست مشخص شده اند که روی آن ها مدول های کاملا به طور ضعیف کوهاپفی (به طور نظیر، کاملا شبه کوهاپفی) دقیقا مدول های با بعد یکنواخت متناهی (به طور نظیر، با بعد تقلیل یافته ی متناهی) می باشند. زیرمدول a از مدول t m-اساسی نامیده می شود اگر برای هر زیرمدول b از m که z2- تابدار نباشد، a b نیز z2-تابدار نباشد، مدول m روی یک حلقه ی نامنفرد راست. شبه کوهاپفی است اگر و تنها اگر برای هر درون ریختی یک به یک f از m، f(m در tm-اساسی باشد. هر زیرمدول اساسی، t-اساسی است. بین زیرمدول های اساسی از مدول (m/z2(m و زیر مدول های t- اساسی از مدول m که شامل (z2(m باشند یک تناظر یک به یک وجود دارد. یک نظریه برای بعد تقلیل یافته ی m طرح شده است که در آن زیرمدول های t-اساسی نقشی شبیه نقش زیر مدول های اساسی در نظریه بعد یکنواخت دارند. مفاهیم t-مکمل و زیرمدول t-بسته معرفی شده اند و نشان داده شده است این مفاهیم هم ارزند. مدول m با بعد تقلیل یافته ی متناهی است اگر تنها و تنها اگر m شرط زنجیر افزایشی روی t-مکمل ها باشد اگر و تنها اگر m شرط زنجیر کاهشی روی t-مکمل داشته باشد. در اخر نشان داده شده است برای هر r-مدول (z2(mدقیقا مجموعه اعضایی از m نظیر x است که پوچساز x یک ایدال راست t-اساسی از r باشد.

حلقه ی جابجایی r دارای خاصیت (a) است اگر هر ایدآل متناهی مولد r که هر عضو آن یک مقسوم علیه صفر است، دارای پوچ ساز ناصفر باشد. در این پایان نامه مطالعه ی حلقه های دارای خاصیت (a) ادامه یافته، این مفهوم برای حلقه های ناجابجایی تعریف شده است و به بررسی چنین حلقه هایی پرداخته شده است. به علاوه چندین توسیع از حلقه های ناجابجایی دارای خاصیت (a) مانند حلقه ی ماتریس ها، حلقه ی چند جمله ای ها، حلقه ی سریهای توانی و حلقه ی کسرهای کلاسیک مورد مطالعه قرار گرفته اند. در آخر نشان داده شده است که چه موقع فضای ایدآل های اول مینیمال از حلقه های دارای خاصیت (a) فشرده است.

در این پایان نامه یک کران برای بعدی گلدی مدول های موروثی بر حسب عدد اصلی مجموعه مولدهای پوشش شبه تزریقی آنها یافته می شود. در این راستا چندین نتیجه حاصل می شود. بویژه نشان داده می شود که هر مدول موروثی متناهی-تولید شده با پوشش شبه تزریقی شما را تولید شده، نوتری است. همچنین نشان داده می شود هر حلقه موروثی است با پوشش تزریقی متناهی –تولید شده آرتینی راست است . بنابراین به یک مساله ای که توسط دانگ، گمزپاردو و ویزبایر مطرح شده بود ومدت ها حل نشده بود پاسخ داده می شود.

در این رساله بر مبنای مقاله 13 تحقیق شده است که چه موقع هر مدول ساده دارای یک پیش غلاف تصویری است. ثابت می شود که (1) هر r- مدول راست دارای یک پیش غلاف تصویری است اگر و تنها اگر پوچ ساز چپ هر ایده آل راست ماکسیمال از r متناهی تولید باشد (2) هر r- مدول راست دارای غلاف تصویری پوشایی است اگر و تنها اگر r یک حلقه ps راست باشد (3) هر r- مدول راست ساده دارای یک پیش غلاف تصویری تکمین است اگر و تنها اگر r یک حلقه کش راست باشد و پوچ ساز چپ هر ایدآل راست ماکسیمال از r متناهی تولید باشد.

این پایان نامه متشکل از سه فصل و یک واژه نامه است. فصل اول: مقدمه ای بر حلقه و مدول است که در 12 قسمت بیان شده، فصل دوم: چه زمانی یک حلقه ماتریسی 2×2 روی یک حلقه موضعی جابجایی قویا تمیز است؟ و فصل سوم: حلقه های قویا تمیز در پنج قسمت توضیح داده شده و در آخر واژه نامه و بعد، منابع آورده شده است.

اگر m و n دو مدول باشند مفهوم نیمه منظمی و منظمی برای hom(m,n تعریف می شود و مورد مطالعه قرار می گیرد و ارتباط آن با ویژگی های تزریقی مستقیم و تصویری برقراری می شود رابطه نیمه منظمی با ژاکوبسن رادیکال hom (m,n) با ایده آل های منفرد و هم منفرد hom (m,n) و با مفهوم قرار گرفتن رویا زیر یک جمعوند مستقیم تشریح می شود و نتایج اساسی در مورد مدول ها توسعه می یابد.

حلقه r، آیکدا ناکایاما حلقه (حلقه –in) نامیده می شود هرگاه پوچ ساز چپ اشتراک هر دو ایده آل راست برابر با مجموع پوچ سازهای چپ آن دو ایده ال باشد. در این پایان نامه نشان داده می شود که اگر r یک in-حلقه راست باشد و a,b دو ایدآل راست r باشند که مکمل یکدیگرند، آن گاه خود توان e?r وجود دارد به طوری که a=er و b=(1-e)r. به عنوان یک نتیجه نشان داده می شود که r خود تزریقی راست است اگر و تنها اگر m2(r) یک in-حلقه راست باشد. r حلقه دوگان(d-حلقه) نامیده می شود هرگاه هرایدآل راست یا چپ و راست باشد و هر r- مدول ساده، دارای دوگان ساده باشد. همچین ثابت خواهد شد که r شبه فربنیوس است اگر وتنها اگر r کامل چپ و in-حلقه چپ و راست باشد.

چکیده ندارد.

در این رساله همه حلقه ها، شرکت پذیر و دارای عنصر یکانی می باشند. همه همریختی های حلقه ای ضرورتا" عنصر همانی را حفظ می کند. همچنین همه مدولهای در نظر گرفته شده، یکانی هستند. در این رساله خواص هاپفی و کوهاپفی، را وقتیکه n زیرمدول کاملا" پایدار m باشد تحت فرضیات مناسب بررسی می کنیم.

حلقه r را کمین تزریقی راست گویند. اگر هر یکریختی بین ایده آلهای راست ساده به وسیله ضرب از چپ توسط عضوی از r بیان گردد. چنین حلقه هایی موریتاپایا هستند. ثابت می شود حلقه جابجایی r کمین تزریقی راست است اگر soc(r) عاری از مربع باشد همچنین تصویر همریخت حلقه جابجایی r کمین تزریقی است اگر و فقط اگر r توزیعی باشد. علاوه بر این اگر r ، نیم کامل وکمین تزریقی راست باشد طوری که برای هر عضو خودتوان اولیه e داشته باشیم soc(er) 0 آنگاه r مجهز به یک جایگشت ناکایاما روی مجموعه عضوهای خودتوان پایه برای r است و همچنین soc(rr) soc(rr) اگر و فقط اگر هر ایده آل چپ ساده، یک ایده آل پوچ ساز باشد.

در تئوری حلقه های جابجایی مشخصهء هر دامنهء ددکینداین است که هر ایده آل آن حاصل ضرب ایده آلهای اول است . در این رساله ما برآنیم که این خاصیت را به کلاسی از حلقه های نابجایجایی نوتری گسترش دهیم . و ما در بخش اول از فصل سوم رسالهء ثابت می کنیم که اگرr حلقهء اول نوتری و با اتحاد کثیرالجمله ای و هر ایده آل r حاصل ضرب ایده آلهای اول باشد آنگاه r یک حلقهء ددکینداول است (1-10و3) اما در یک قلمرو صحیح جابجایی r، اگر هر ایده آل حاصل ضرب ایده آلهای اول باشد آنگاه r یک حلقهء نوتری است . لذا به نظرمیرسد که خاصیت نوتری احتمالا" در ضمیمهء pi حلقه ها بدست آید . و این موضوع هدف اصلی در بخش دوم از فصل سوم می باشد و ما ثابت خواهیم کرد(2-2 و 3) که اگر r حلقهء اول و هر ایده آل آن حاصل ضرب ایده آلهای اول و در ضمن r به عنوان یک مدول روی مرکزش متناهیا" تولید شده باشد آنگاه r یک حلقهء ددکینداول نوتری است . اما برای رسیدن به اهداف ذکر شدهء بالا در فصل اول ابتدا به معرفی و ذکر قضایایی چند از تئوری حلقه ها پرداخته ایم که خواننده می تواند جزئیات بیان شده را در کتابهای استاندارد پیدا نماید. امادر بخش دوم از این فصل به ذکر قضیه ای از آیزن باد نظر افکنده ایم (2-3 و 1) و تمامی این بخش از مرجع (15) برگرفته شده است . در حقیقت اگر r و s دو حلقه باشند و rcs و s به عنوان یک -r مدول متناهیا" تولید شده باشد. و r یک حلقه آرتینی یا نوتری باشد . sنیز چنین است . و قضیه (2-3 و 1) تحت شرایط قویتری سعی در اثبات عکس این قضیه دارد . همچنین در بخش سوم به معرفی و اثبات بعضی خواص مربوط به حلقه کسرها از یک حلقهء r نسبت به یک مجموعهء مخرج x پرداخته ایم . در فصل دوم رساله به معرفی نسبتا" کاملی از حلقه هایی که در یک کثیرالجملهء تکین صدق می کنند اشاره کرده ایم که خواننده می تواند شرح کاملتری از آنها را (23) و (14) پیدا نماید. و در این فصل به قضایای زیبایی چون قضیهء کاپلانسکی (1-24و2) و قضیهء پوسنر (1-41و2) و قضیهء آرتین پروچزی (1-52و2) و درهمین فصل است که به قضیهء بسیار زیبا و راهگشای زیر اشاره شده است . "قضیهء (1-40 و 2) " : اگر -pi r حلقهء اول باشد آنگاه هر ایده آل غیرصفر r شامل یک عنصر غیر صفر از مرکز r می باشد . در پایان متذکر می شوم، آنچه که زیربنای اصلی بخش اول و دوم از فصل سوم را تشکیل می دهد مطالبی است که به ترتیب از مراجع 11 و 12 گرفته شده است .

این پایان نامه از پنج فصل تشکیل شده است : فصل اول ، مقدمه . فصل دوم ، گروههای حل پذیر با تولید متناهی با شرایطی روی زیر مجموعه های نامتناهی . فصل سوم ، تصاویر همریختی گروههای موضعا مدرج. فصل چهارم ، شرط ماکسیمال ضعیف و گروههای چند دوری . فصل پنجم، گروههای موضعا مدرج.

در این رساله ثابت می کنیم که قضیه کرول -اشمیدت در حالت کلی برای مدول های آرتینی برقرارنیست . این جواب سوالی است که توسط کرول در سال 1932 پرسیده شد. بدین منظور ابتدا حلقه های نیم موضعی را مورد بررسی قرار داده و نشان می دهیم ، که هر گاه ‏‎s‎‏ یک جبر مدول متناهی روی حلقه جابجایی نوتری نیم - موضعی ‏‎r‎‏ باشد، آنگاه می توان ‏‎s‎‏ را بعنوان حلقه درونریختی یک مدول آرتینی در نظر گرفت. با استفاده از این مطلب ، ثابت میم کنیم که هرگاه ‏‎s‎‏ یک جبر مدول متناهی روی حلقه جابجایی نوتری نیم - موضعی‏‎r‎‏ باشد، آنگاه هر تجزیه نامنحصر بفرد از هر‏‎-s‎‏ مدول نوتری ، یک تجزیه نامنحصر بفرد از یک مدول آرتینی روی حلقه غیرنوتری مربوطه بدست می دهد.

برای یک ایده آل اول ‏‎p‎‏ در یک حلقه r تعریف میکنیم چندین نویسنده ، نمایش هایی از حلقه هایی که فاکتور آنها به صورت ‏‎r|o(p)‎‏ است ، بدست آورده اند. همچنین در یک حلقه تعویض پذیر یک ایده آل اول مینیمال ‏‎p‎‏ به عنوان یک ایده آل اول ‏‎p‎‏ به طوری که ‏‎p=o*-(p)‎‏ مشخص شده است. در این پایان نامه شرایطی را مطرح می کنیم که برای ایده آل ‏‎p‎‏ تساوی‏‎p=o*-(p)‎‏ را تضمین می کنند. خاصیت ‏‎p=o*-(p)‎‏ برای بدست آوردن شرایطی که معین می کنند حلقه ‏‎r|o(p)‎‏ ایده آل اول مینیمال یکتا دارد ، بکار گرفته می شود. با افزودن شرایطی ‏‎o(p) , o*-(p)‎‏ را تعمیم میدهیم . برای تشریح و تحدید نتایج مان مثالهایی مطرح و اثبات می شوند.

در این رساله تمام حلقه ها یکدار فرض شده اند. خواصی از قبیل نوتری و آرتینی از طرف راست در نظر گرفته شده، مدولهایی که با آنها سرو کار داریم، یکانی می باشند و در حالت کلی مدول راست هستند مگر خلاف آن ذکر شده باشد. این رساله سامل دو موضوع است، که در پایان نامه مفصل ذکر شده است.