در این پایان نامه، معادلات لیاپانوف تعمیم یافته تصویر شده را بررسی می کنیم. برای چنین معادلات قضایایی وجود یکتایی می تواند بطور مستقل از اندیس بیان شود. همچنین در مورد کاربردهای این معادلات برای مطالعه رفتار مجانبی جواب های سیستم های منفرد بحث می کنیم. توزیع مقادیر ویژ? تعمیم یافته ماتریس را در صفح? مختلط با توجه به محور موهومی و دایره یکه و خواص کنترل پذیری و مشاهده پذیری برای سیستم های توصیفی را بررسی می کنیم. پایداری سیستم توصیفی مثبت را بررسی نموده و نشان می دهیم اگر تصویر طیفی بر زیر فضای کاهنده متناهی زوج ماتریس ، نا منفی باشد شرایط پایداری سیستم های توصیفی مثبت مشابه شرایط پایداری سیستم های استاندارد مثبت است. با توجه به اینکه هر معادله دیفرانسیل ضمنی بصورت سیستم توصیفی بیان می شود، تلاش می کنیم با ارائه روشهایی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیر خطی را به معادله دیفرانسیل معمولی(ضمنی)تبدیل نموده و ارتباط بین جوابهای دقیق اینگونه معادلات را با پایداری سیستم ضمنی مورد بررسی قرار دهیم.