این پایان نامه بر اساس ‎[21]‎ تنظیم شده است و شامل سه فصل است. فصل اول شامل برخی تعاریف و مفاهیم مقدماتی مربوط به رده مختلف از عملگرها می باشد. یکی از تعاریف مهم و اساسی که در آن بیان شده است، تعریف تبدیل آلوسگه می باشد. کسانی چون جونگ ‎footnote{jung}‎و پیرسی ‎footnote{peracy}‎نتایج زیادی با استفاده از آن به دست آوردند که رده بیشتری از آن مربوط به عملگرهای غیر نرمال می باشد. در فصل دوم تجزیه قطبی تبدیل آلوسگه، مربوط به یک عملگر خطی کراندار روی فضای هیلبرت را بررسی می کنیم. همچنین شرط لازم و کافی برای بی نرمال بودن عملگرهای کراندار را با استفاده از تبدیل آلوسگه آن ارائه می دهیم. همانطوریکه خواهیم دید، ‎{t}‎ تبدیل آلوسگه ‎$t$‎، خواص بهتری نسبت به خود ‎$t$‎ دارد. با این وجود با ارائه مثالی از یک عملگر بی نرمال ‎t‎ نشان خواهیم داد که ‎{t}‎ لزوما بی نرمال نیست. همچنین شرط معادلی را برای بی نرمال بودن ‎tilde{t}_k‎ ارائه می دهیم. در قصل سوم عملگرهای مرکزی شده را تعریف کرده و ساختارهایی از عملگرهای مرکزی شده را بررسی می کنیم.