برای ساختن خانواده هایی از خم های بیضوی با رتبه عمومی بالا، از معادلات دیوفانتی خاص، برخی مفاهیم جبری و هندسی استفاده کرده، و وجود موارد زیر را نشان می دهیم: (i) نامتناهی خم بیضوی روی u^6+v^6+p^6+q^6=2(r^6+s^6) از رتبه حداقل پنج، با زیرگروه تاب بدیهی، که توسط یک خم بیضوی از رتبه حداقل سه روی q(p,q,r,s)‎ پارامتری می شود؛ (ii) خم های موردل e_k:y^2=x^3+k با گروه های تاب غیربدیهی از رتبه عمومی دو به عنوان پیچش درجه دو e_1، و رتبه عمومی حداقل سه به عنوان پیچش های درجه سه e_1؛ (iii) نامتناهی خم بیضوی از رتبه حداقل دو با گروه تاب z/8z، که توسط نقاط یک خم بیضوی از رتبه حداقل یک پارامتری می شود، به همراه مثال هایی خاص از رتبه پنج؛ (iv) نامتناهی خم بیضوی از رتبه حداقل یک با گروه تاب z/2z*z/8z، به همراه مثال هایی خاص با رتبه سه با در نظر گرفتن حدس زوجیت. به علاوه، با استفاده از نظریه خم های بیضوی، نشان می دهیم که معادله دیوفانتی a^5+b^3=c^5+d^3 تعداد نامتناهی جواب اولیه دارد.