در این پایان نامه, حلقه ها یکدار می باشند و ‎- *حلقه ‎r‎ را حلقه ‎-*-jتمیز قوی گوییم هرگاه برای هر ‎a ∈ r‎ عضو تصویری ‎e ∈ r‎ موجود باشد که ‎a‎ - ‎e ∈ j(r) ‎ و ‎ae =ea‎ .به این منظور نشان می دهیم -‎*‎حلقهr ‎ -*-jتمیز قوی است اگر و تنها اگر r -*‎تمیز قوی باشد و r /j(r) ‎ بولی باشد اگر و تنها اگر ‎r‎ به طور یکتا تمیز باشد و برای هر ‎a ? r‎, ‎a-a* ? j(r) ‎ اگر و تنها اگر برای هر ‎a ∈ r‎ عضو تصویری یکتایی مثل ‎e ∈ r‎ موجود باشد که ‎a-e ∈ u(r) ‎ و ‎ae =ea‎ اگر و تنها اگر برای هر ‎a ? r‎ تصویر یکتایی مثل ‎e ∈ r‎ موجود باشد که ‎a‎ - ‎ein j(r) ‎ برای هر ‎*-‎ایدآل ‎i‎ از ‎r‎ نشان می دهیم که r حلقه j-*-تمیز قوی است اگر و تنها اگر ‎r‎ آبلی باشد و هر خودتوانی به پیمانه ‎i‎ ارتقا داده شود