فرض کنیم ‎$g$‎ یک گروه متناهی و ‎$delta(g)$‎ گراف درجه کاراکترهای تحویل ناپذیر گروه ‎$g$‎ باشد که رئوس این گراف تمام مقسوم علیه های اول درجات کاراکترهای تحویل ناپذیر گروه ‎$g$‎ هستند و دو رأس ‎$p$‎ و ‎$q$‎ توسط یک یال به هم وصل می شوند اگر و تنها اگر درجه ی کاراکتر تحویل ناپذیری از گروه ‎$g$‎ موجود باشد به طوری که بر ‎$pq$‎ بخش پذیر باشد. در این پایان نامه گراف های چهار رأسی که می توانند گراف درجه یک گروه حل ناپذیر باشند، را مشخص کرده و سپس با استفاده از نتایج مربوط به گراف های درجه گروه های حل پذیر، تمامی گراف های چهار رأسی که به عنوان گراف درجه کاراکترهای یک گروه متناهی ظاهر می شوند، را دسته بندی می کنیم.