در فصل اول تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی را که برای این پایان نامه نیاز داریم بیان می کنیم.در فصل دوم که به بررسی جواب های چندگانه برای دستگاهی شامل عملگر p-لاپلاسین با غیر خطی های همگن بحرانی است، میپردازیم ابتدا مقدمات و نتایج اصلی آن را در دو قضیه بیان می کنیم سپس وجود حداقل یک جواب که با استفاده از قضیه مسیر های کوهی، قضیه همگرایی لبگ، قضیه ضریب تغییرات لاگرانژو لم برزیس-لیب بررسی می کنیم، و چندگانگی جواب ها را با استفاده از نظریه رسته ها بررسی می کنیم. در فصل سوم که به بررسی جواب های مثبت چندگانه برای دستگاهی با غیر خطی های همگن بحرانی می پردازیم، ابتدا مقدمات و نتایج اصلی آن را در دو قضیه بیان می کنیم سپس بررسی وجود حداقل یک جواب و چندگانگی جواب های را بررسی می کنیم . در فصل آخر که به بررسی جواب های مثبت چندگانه برای مسئله بیضوی مرتبه دوم کیرشهف است ابتدا مقدمات و نتایج اصلی که در دو قضیه بیان می شود سپس لم های مقدماتی و در بخش اخر نتایج را با استفاده از لم های گفته شده اثبات می کنیم.

در این رساله ابتدا در فصل اول برخی تعاریف و قضایای مقدماتی موردنیاز را معرفی می کنیم در فصل دوم وجود و چندگانگی جواب را برای یک مسأله تکین با شرط مرزی نیومن مورد مطالعه قرار داده و به کمک خمینه نهاری نشان می دهیم مسأله مورد نظر دارای حداقل دو جواب غیربدیهی است. در فصل سوم وجود جوابهای چندگانه برای یک دستگاه بیضوی با توابع وزن تغییر علامتی را تحقیق می کنیم. در فصل چهارم چهار مسأله مقدار مرزی را بررسی می کنیم بدین ترتیب که در بخش اول در خصوص چندگانگی جواب برای یک دستگاه معادلات کیرشهف با شرایط مرزی غیر خطی بحث می کنیم و در بخش دوم ابتدا به معرفی فضای سوبولف با نمای متغیر و گزاره های مربوطه پرداخته ویک مسأله مقدار مرزی را برای وجود جواب بررسی کرده و وابستگی وجود جواب ها را به شرایط روی خمینه نهاری را نشان خواهیم داد. در بخشهای سوم و چهارم با استفاده از روش جوابهای بالایی و پایینی در خصوص وجود جواب دو مسأله مقدار مرزی بحث می کنیم.