هدف از این پایان نامه آن است که تعداد توپولوژی ها را روی یک مجموعه متناهی تحت شرایط معینی بدست آوریم.در واقع این تعدادباتعداد زیرشبکه ها تحت شرایط معینی برابر است. در واقع مقادیرt(n,k)را محاسبه می کنیم.که ریاضیدانانی مانند الن ارنه،ماری استیج،بروسلی روسچیلد،دنل کلیتمن، ریچارد چیتر استنلی، هنری شارپ و دن استیفن در مقالاتشان مقادیری برای آن محاسبه کرده اند.