مسئله ی جریان با کمترین هزینه یکی از مسائل پرکاربرد و معروف روی شبکه های جریان است. در این مسئله‎‏،‎ یک گراف جهت دار داده شده که کمان های آن ‎‎مقادیر مثبت جریان انتقال می دهند و برای عبور هر واحد جریان‏، هزینه ای در نظر گرفته شده است. هدف‏، پیدا کردن جریان در کمان ها با هزینه کلِ کمینه است. تعمیم های متعددی برای حالت استاندار این مسئله وجود دارد. در مسئله جریان متناسب که تعمیمی از مسئله ی جریان با کمترین هزینه است، مجموعه هایی از کمان های شبکه داده شده و نیاز است جریان در کمان های هریک از مجموعه ها نسبت به هم متناسب باشند. برای این مسئله الگوریتم هایی مبتنی بر الگوریتم سیمپلکس وجود دارد که در این پایان نامه به بیان و بررسی دقیق این الگوریتم ها پرداخته می شود.