گراف کیلی یک گروه متناهی قدیمی ترین گرافی است که به یک گروه نسبت داده شده است. گراف های کیلی اهمیت و کاربردهای بسیاری در ریاضیات و شبکه های کامپیوتری دارند. در این پایان نامه به بررسی گراف های متقارن و ‎4-‎منظم از مرتبه ی ‎9p‎ می پردازیم. مطالعه ی گراف های کیلی تحت برخی از اعمال گراف ها یکی دیگر از اهداف این پایان نامه است که حاصل کار نویسنده می باشد. در اینجا هدف ما بررسی شرایطی است که دو گراف کیلی تحت اعمالی چون حاصل ضرب تانسوری، حاصل ضرب دکارتی، حاصل ضرب قوی، ترکیب، جمع متقارن، تفاضل متقارن، حاصل ضرب تاج، گره، حاصل ضرب خوشه ای، ارتباط، حاصل ضرب سلسله مراتبی، حاصل ضرب چپ، حاصل ضرب وارون چپ و ‎neps‎ گرافی کیلی خواهند شد. به علاوه شرایطی را که موجب می شود گراف های ساخته شده از یک گراف کیلی طی فرآیندی مانند اعمال زیرتقسیمی، گراف کیلی شود بیان می کنیم‎;‎ در برخی از موارد امکان پذیری ساخت تعدادی متناهی گراف کیلی مورد بررسی قرار خواهند گرفت.