مجموعه عناصر پوچ توان در یک حلقه آرمنداریز از اهمیت ویژه ای برخوردار است .اگر حلقه آرمنداریز باشد آنگاه پوچ رادیکال بالایی آن با رادیکال اول آن برابر است .بنابراین می توان نشان داد که اگر حلقهای آرمنداریز باشد آنگاه حلقه خارج قسمتی آن بر رادیکال اول نیز آرمنداریز است. در این پایان نامه حلقه هایی که چنین خاصیتی دارند را بررسی میکنیم و حلقه ای که چنین خاصیتی داشته باشد به apr نامگذاری می کنیم . نشان می دهیم خانواده های حلقه های apr بین خانواده حلقه های آرمنداریز و خانواده حلقه های پوچ آرمنداریز قرار دارد. نشان می دهیم حلقه r ، خاصیت apr دارد اگر و تنها اگر r[x] خاصیت apr داشته باشد در چنین شرایطی نشان می دهیم .n(r)[x]=n(r[x])